Concours d`accès en première année Programme Grande Ecole

Concours d’accès en première année
Programme Grande Ecole
Epreuve de Mathématiques Générales
Durée : 2 heures
Exercice 1 (3 points)
On désigne par P le polynôme défini par : P( x)  8x 3  48x 2  94 x  60
1) Calculer P(2)
2) En déduire les réels a, b et c vérifiant :
P( x)  ( x  2)(ax 2  bx  c)
3) Résoudre dans IR P(x) = 0
Exercice 2 (3 points)
Un étudiant doit répondre à un questionnaire contenant 40 questions. Le barème est le
suivant :
 0,5 point pour chaque bonne réponse et
 -1 point pour chaque mauvaise réponse.
Après avoir répondu aux 40 questions, l’étudiant obtient 10 points.
A combien de questions a-t-il répondu correctement ?
Problème (8 points)
x2  4
Soit f la fonction réelle définie sur IR – {-1,1} par : f ( x) 
et soit (Cf) sa
( x  1)( x  1)
 
courbe représentative dans un repère (O, i , j )
Partie A
1. Calculer les limites de f aux bornes de son domaine de définition.
2. En déduire les équations des asymptotes à la courbe (Cf)
3. Calculer la dérivée f ’ de f.
4. Dresser le tableau de variation de f.
5. Représenter graphiquement (Cf).
Partie B
1. Trouver A et B pour que la fonction f s’écrive :
A
B
f ( x)  1 

( x  1) ( x  1)
2. Montrer que la fonction F définie par:
3
3
F ( x)  x  ln( x  1)  ln( x  1) est une primitive de f sur ]1 ; + [
2
2
3. Calculer l’aire du domaine plan délimité par (Cf) et les droites d’équation :
y = 0, x = 2 et
x=3
-1-
Numéro Examen : …………….
Questionnaire (6 points)
Ce questionnaire comprend 9 questions à choix multiples ayant chacune 5 propositions de
réponse dont une seule est juste. Entourez la bonne réponse, mettez votre numéro
d’examen en haut de cette feuille et joignez celle-ci à votre copie d’examen.
1. Soit f une fonction définie sur R par f ( x)  x 2  2 . La fonction dérivée de f est :
Réponse a
x–2
Réponse b
2x -2
Réponse c
2x
Réponse d
x
Réponse e
x2
2. Soit une suite arithmétique de raison a et de premier terme u1. Sachant que :
u1 = 2 et a = - 4, u9 est égal à :
Réponse a
-30
Réponse b
-29
Réponse c
-31
Réponse d
30
Réponse e
31
3. Soit f une fonction définie sur IR par f ( x)  e x . Une primitive de f sur IR est :
Réponse a
ex 1
4.
Réponse b
ln(x)
Réponse c
ex
Réponse d
2e x
Réponse e
 ex
Réponse b

Réponse c
n’existe pas
Réponse d
0.5
Réponse e
2
x2 1
est :
x   2 x 2  1
lim
Réponse a
1
5. Soit f ( x)  x 3  6 x 2  11x  6 . f (x) est divisible par :
Réponse a
x+2
6. Soit Sn = 1 
Réponse b
x-2
Réponse c
x
Réponse d
x+5
Réponse e
x-5
1 1
1
 2  ....  n , n  N , la valeur de Sn est :
2 2
2
Réponse a
1
1 n
2
Réponse b
1
2  n 1
2
Réponse c
1
2 n
2
Réponse d
1
2  n 1
2
Réponse e
1
1  n 1
2
7. Soit f une fonction réelle définie sur  ,3 par f ( x)  3  x .
Pour tout réel x<3, f ' ( x) est égale à
Réponse a
1
2 3 x
8.
Réponse c
Réponse d
Réponse e
 3 x
3 x
2 3 x
(un) désigne une suite géométrique tel que, u1= 256 et u4= 32
La raison de cette suite est
Réponse a
2
9.
Réponse b
1
2 3 x
Réponse b
1/2
Réponse c
-1/2
Réponse d
-2
Réponse e
-8
Soit le polynôme P( x)  ( x  1)(2 x 2  3x  4)( x  2) . Ce polynôme admet, dans IR
Réponse a
1 Solution
Réponse b
3 Solutions
Réponse c
2 Solutions
-2-
Réponse d
4 Solutions
Réponse e
Aucune Solution
LEXIQUE
Français
Arabe
Abscisse
Asymptote
Courbe
décroissante
Défini
Entier
Equation
Factorisation
Fonction affine
Fonction dérivée
Fonction primitive
Impair
Inéquation
Intervalle
Nombre réel
Polynôme
Repère
S’annuler
Suite arithmétique
Suite constante
Suite géométrique
Système d’équations
Tableau de signe
Tableau de variation
Tangente
Variations d’une fonction
‫األفصول‬
‫هتقارب‬
‫هنحنى‬
‫تناقصٍة‬
‫هعرف‬
‫صحٍح‬
‫هعادلة‬
‫التعوٍل‬
‫الدالة التآلفٍة‬
‫الدالة الوشتقة‬
‫الدالة االصلٍة‬
‫فردي‬
‫هتراجحة‬
‫هجال‬
ً‫عدد حقٍق‬
‫حدودٌة‬
‫هعلن‬
‫تنعدم‬
‫هتتالٍة حسابٍة‬
‫هتتالٍة ثابتة‬
‫هتتالٍة هندسٍة‬
‫نظوة‬
‫جدول اإلشارات‬
‫جدول التغٍرات‬
‫هواس‬
‫تغٍٍرات الدالة‬
-3-