Fiche méthode : étudier les variations d`une fonction
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Fiche méthode : étudier les variations d`une fonction
Fiche méthode : étudier les variations d’une fonction 1) On calcule la dérivée de f et on étudie son signe Pourquoi ? le signe de f ’(x) donne l’inclinaison de la courbe. Si f ’(x) est positif, la courbe « monte » et f est croissante. Si f ’(x) est négatif, la courbe « descend » et f est décroissante. Comment ? * on calcule la dérivée avec les formules ci-contre. * on étudie son signe en utilisant le signe d’une fonction affine, d’un polynôme de degré 2, d’un produit ou d’un quotient y Df 5 Dg 4 3 2 1 x -4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4 -1 -2 -3 Signe d’une fonction affine : a x + b ne change de signe qu’une fois en x = − Si a > 0 : x f (x) − −b/a − + + b (solution de a x + b = 0) a Si a < 0 : x − f (x) + −b/a f ’(x) = a 2x 3 x² 1 − x² 1 2 x n xn−1 Fonction f définie par f (x) = a x + b sur f (x) = x² sur f (x) = x3 sur 1 f (x) = sur ]− ; 0[ ou ]0 ; + [ x f (x) = x sur ]0 ; + [ f (x) = xn sur avec n * 1 n f (x) = n sur ]− ; 0[ ou ]0 ; + [ x − n+1 x avec n * u+v u’ + v’ 1 u’ − u u² uv u’ v + v’ u u u’ v – v’ u v v² u’ u 2 u u² 2 u’ u u3 3 u’ u² un n u’ un−1 1 n u’ − n+1 un u + − Signe d’un polynôme du 2ième degré : le signe de a x² + b x + c peut être constant ou non suivant la valeur de Δ : Δ = b² − 4 a c −b+ Δ −b− Δ si Δ > 0, a x² + b x + c = 0 a 2 solutions : x1 = et x2 = 2a 2a et si a > 0 : si a < 0 : x x − x1 x2 + − x1 x2 f (x) + − + f (x) − + b si Δ = 0, a x² + b x + c = 0 a 1 solution : x = − 2a et si a > 0 : si a < 0 : x x − −b/2a + − −b/2a + f (x) + + f (x) − − y 3 Pf 2 + 1 − x -2 -1 O 1 2 3 -1 -2 -3 -4 si Δ < 0, a x² + b x + c = 0 n’a pas de solution et si a > 0 : x − + f (x) + -5 si a < 0 : x f (x) -6 − + − Signe d’un produit et d’un quotient : on applique la règle des signes pour la multiplication en présentant les résultats dans un tableau de signes Signe d’un carré , d’une somme … Un carré est toujours positif ; la somme de 2 nombres positifs est positive, la somme de 2 nombres négatifs est négative … * on conclue avec un tableau de variations liant signe de f ’(x) et sens de variation de f. (à compléter par les valeurs et les limites) * on vérifie avec une calculatrice. 2) on utilise des propriétés : La composée de 2 fonctions croissantes ou de 2 fonctions décroissantes est croissante. La somme de 2 fonctions croissantes est croissante. La composée d’une fonction croissante et d’une fonction décroissante est décroissante. La somme de 2 fonctions décroissantes est décroissante. Pg