POLYNOMES DU SECOND DEGRE I) Polynômes II) Fonction

POLYNOMES DU SECOND DEGRE
I) Polynômes
Définitions : Soit a un nombre réel non nul et n un entier naturel.
• La fonction f définie sur R par f ( x ) = axn est une fonction monôme de degré n. L’expression ax n est appelée
monôme de degré n.
• On appelle fonction polynôme, une somme de fonctions monômes.
• On appelle degré d’un polynôme, le degré le plus élevé de la variable x.
Exemples :
II) Fonction polynôme du second degré
Définition : On appelle fonction polynôme du second degré ou trinôme, toute fonction du type x a ax2 + bx + c où a
désigne un réel non nul.
Propriétés :
(
)
2

b
b 2 − 4ac 
• Tout polynôme du second degré ax 2 + bx + c peut s’écrire a  x +
−
.
2a

4a 2 
Cette forme est appelée forme canonique du polynôme ax 2 + bx + c .
Le nombre ∆ = b 2 − 4ac est le discriminant du polynôme ax 2 + bx + c ou de l’équation ax 2 + bx + c = 0 .
• La représentation graphique de tout polynôme du second degré ax 2 + bx + c est une parabole admettant un axe de
b
symétrie d’équation x = −
.
2a
III) Equation ax 2 + bx + c = 0 , factorisation du polynôme ax2 + bx + c
Théorème : Soit le polynôme ax 2 + bx + c , a ' 0 de discriminant ∆ = b 2 − 4ac .
Signe de ∆
Résolution de l’équation
ax 2 + bx + c = 0 .
∆<0
L'équation n'a pas de solution. On
dit que le trinôme n'a pas de racine.
ax 2 + bx + c ne peut pas se
factoriser.
∆=0
L’équation admet une seule
b
solution x0 = −
.
2a
On dit que le trinôme a une seule
racine dite double.
ax 2 + bx + c se factorise en
a ( x − x0 ) 2 .
On peut parfois remarquer que
ax 2 + bx + c est une identité
remarquable.
L’équation admet 2 solutions
distinctes
ax 2 + bx + c se factorise en
a ( x − x1 )(x − x 2 ) .
∆>0
−b + ∆
−b − ∆
et x2 =
.
2a
2a
Les solutions x1 et x2 sont les
racines du polynôme ax 2 + bx + c .
Factorisation du trinôme
ax 2 + bx + c
x1 =
Le second degré 1/2
IV) Signe de f( x ) = ax 2 + bx + c
Théorème : Soit la fonction polynôme f : x a ax 2 + bx + c , où a ' 0 et B f la représentation graphique de f dans un
repère.
∆<0
Conséquence
graphique
∆=0
∆>0
La parabole Bf qui représente La parabole Bf qui représente La parabole Bf qui représente f
f ne coupe pas l’axe des
f est tangente en un point et coupe l’axe des abscisses en deux
abscisses.
un seul à l’axe des abscisses . points d’abscisses respectives x1 et
x2 .
a>0
Parabole B f
tournée vers le
haut
− b 2a
O
Equation f(x) = 0
Signe de f(x)
−b
O
2a
Pas de solution
x
−∞
Signe
de f(x)
x 0 = − b 2a
O
Une solution double x0
+∞
x
−∞
Signe
de f(x)
x0
+∞
0
x1
x2
Deux solutions distinctes x1 et x2
x
−∞
Signe
de f(x)
x1
x2
0
0
+∞
a<0
O
Parabole B f
tournée vers le
bas
Equation f(x) = 0
Signe de f(x)
− b 2a
O
x 0 = − b 2a
O
x1
x2
−b
Pas de solution
x
−∞
Signe
de f(x)
Une solution double x0
+∞
x
−∞
Signe
de f(x)
x0
0
+∞
2a
Deux solutions distinctes x1 et x2
x
−∞
Signe
de f(x)
x1
x2
0
0
+∞
Théorème : Le polynôme ax 2 + bx + c est du signe du coefficient a de x 2 pour toute valeur de x, sauf si x est entre les
racines, lorsqu’elles existent.
Le second degré 2/2