fonctions polynômes de degré deux
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fonctions polynômes de degré deux
2nde ISI 2009-2010 Fonctions chapitre 4 FONCTIONS POLYNÔMES DE DEGRÉ DEUX Table des matières I Définitions 1 II Variations et représentation graphique 3 III Méthodes pratiques pour déterminer les variations de P 4 F I F F F F F Définitions Définition 1 On appelle fonction polynôme du second degré toute fonction P définie sur R de la forme P (x) = ax2 + bx + c où a, b et c sont des réels appelés coefficients avec a 6= 0. Exemple 1 Exemples de fonctions polynômes du second degré, ou pas ! fonctions polynôme de degré 2 coefficients autres fonctions P (x) = 2x2 − 5x + 3 a = 2, b = −5, c = 3 P (x) = x3 + 2x2 − 5x + 3 P (x) = −x2 + 3 a = −1, b = 0, c = 3 P (x) = x − 5 P (x) = −7x2 + 3x a = −7, b = 3, c = 0 f (x) = x2 − 5x + 1 x Définition 2 Une expression de la forme a(x − α)2 + b avec a 6= 0 s’appelle la forme canonique d’un polynôme de degré 2. Toute fonction polynôme admet une forme canonique. Exemple 2 L’expression P (x) = 2(x − 1)2 + 3 est la forme canonique du polynôme P (x) = 2x2 − 4x + 5. ➔ En effet : 2(x − 1)2 + 3 = 2(x2 − 2x + 1) + 3 = 2x2 − 4x + 5 = P (x). http://mathematiques.daval.free.fr -1- 2nde ISI II 2009-2010 Fonctions chapitre 4 Variations et représentation graphique Les parties en bleu ne sont pas exigibles en seconde. Propriété 1 La fonction polynôme de degré 2 définir sur ] − ∞ ; +∞ [ est : ♦ strictement décroissante puis strictement croissante si a > 0, ♦ strictement croissante puis strictement décroissante si a < 0, Tableau de variations et représentation graphique : a<0 a>0 x b − 2a −∞ +∞ +∞ f x b − 2a −∞ +∞ & % min b x = − 2a +∞ Max % f & −∞ −∞ Maximum b b minimum b x = − 2a − → − → Dans un repère (O; i ; j ), la courbe représentative d’une fonction polynôme de degré 2 est une parabole, cette parabole admet un axe de symétrie parallèle à l’axe des ordonnées. http://mathematiques.daval.free.fr -2- 2nde ISI III 2009-2010 Fonctions chapitre 4 Méthodes pratiques pour déterminer les variations de P • Utilisation de la forme canonique a(x − α)2 + β. Si a > 0, alors a(x − α)2 ≥ 0 donc, a(x − α)2 + β ≥ β Si a < 0, alors a(x − α)2 ≤ 0 donc, a(x − α)2 + β ≤ β le minimum β est atteint lorsque a(x − α)2 = 0, c’est-à-dire pour x = α. le Maximum β est atteint lorsque a(x − α)2 = 0, c’est-à-dire pour x = α. Exemple 3 Soit P (x) = 2(x − 2)2 − 1, on obtient : Exemple 4 1 Soit P (x) = − (x − 2)2 − 1, on obtient : 2 P est décroissante sur ] − ∞ ; 2 ], croissante sur [ 2 + ∞ [. P est croissante sur ] − ∞ ; 2 ], décroissante sur [ 2 + ∞ [. Son minimum atteint en 2 vaut −1. Son Maximum atteint en 2 vaut −1. 2 −∞ x +∞ +∞ 2 −∞ +∞ & f x % +∞ -1 % f −1 & −∞ −∞ 6 −3 −2 1 −1 5 −1 4 −2 3 −3 2 −4 1 −5 2 3 4 5 b −6 1 −1 −1 2 3 4 b −7 −2 http://mathematiques.daval.free.fr -3- 2nde ISI 2009-2010 Fonctions chapitre 4 • Utilisation de la propriété de symétrie de la courbe. Puisque la courbe est symétrique, si l’on trouve deux points A et B de cette courbe de même ordonnée, on en déduit que leur milieu I est situé sur l’axe de symétrie. L’abscisse de I est donc l’abscisse de l’extremum. 5 Exemple 5 Soit P (x) = x2 − 4x + 3 : 4 On recherche par exemple les 2 points A et B qui ont pour abscisse y = 3. Pour cela, on résout P (x) = 3 : x2 − 4x + 3 = 3 ⇐⇒ x2 − 4x = 0 ⇐⇒ x(x − 4) = 0 ⇐⇒ x = 0 ou x = 4 0+4 = 2. L’abscisse du minimum est donc x = 2 2 L’ordonnée vaut P (2) = 2 − 4 × 2 + 3 = −1. P est décroissante sur ] − ∞ ; 2 ], croissante sur [ 2 + ∞ [. 3 b A × b 1 2 I × b 3 4 B 2 1 −1 −1 b −2 • Utilisation de x = − b . 2a Exemple 6 Soit P (x) = −x2 − 2x + 3. a = −1 est négatif et b = −2 donc, − −2 b =− = −1. 2a 2 × (−1) La fonction P est donc croissante sur ] − ∞ ; −1 ] et décroissante sur [−1 + ∞ [. Son maximum est atteint pour x − 1 et vaut P (−1) = 4. http://mathematiques.daval.free.fr -4-