Le second degré.

Transcription

Le second degré.

Le second degré
Le second degré.
Formation complète.
Pré-requis :
savoir réduire les écritures de racines carrées
savoir utiliser la distributivité de la multiplication sur l’addition
savoir gérer une écriture polynomiale
savoir utiliser les identités remarquables
savoir développer, factoriser un polynôme en utilisant les pré-requis précédents
savoir résoudre une équation du type produit nul.
savoir résoudre une équation de la forme x² = A ou A est un réel
Ces pré-requis sont développés dans les formations « développement factorisation » et
« réduction d’écriture en racines carrées »
Objectifs :
savoir mettre sous forme canonique puis factoriser lorsque c’est possible un polynôme
du second degré donné sous la forme ax² + bx + c
savoir résoudre les équations du second degré données sous la forme ax² + bx + c=0.
savoir étudier le signe d’un polynôme du second degré donné sous la forme
P (x) = ax² + bx + c.
Savoir transformer une écriture polynomiale du second degré pour la ramener sous la
forme standard
Savoir utiliser les propriétés de la somme et du produit des racines éventuelles d’un
polynôme du second degré
© Huerga 2003 2004- reproduction interdite . version04
1
Le second degré
1. transformation sous forme produit de polynômes du second degré
• Exemples méthodologiques :
A;
On veut factoriser x² - 3 x + 2
Idée
& il faut arriver à regrouper les termes en x et x² dans un même terme au carré pour cela on
dispose des identités remarquables .
x² - 3x est le début d’une identité remarquable de la forme a² - 2ab + b²
rappel : a² - 2ab + b² = ( a - b )² donc a² - 2ab = ( a - b )² - b²
Identifions les différents termes :
x² - 3x et a² - 2 ab
x² correspond à a² donc nous pouvons choisir x = a
3x correspond à 2 ab comme x = a nous avons 2b = 3 donc b = 3/2
a² - 2ab = ( a - b )² - b²
devient donc x² - 3x = ( x - 3/2 )² - ( 3/2 )²
remarque : les termes en x et en x² sont bien regroupés dans un même terme au carré
conclusion 1 : l’expression x² - 3 x + 2 se transforme en :
x² - 3 x + 2 = ( x - 3/2 )² - ( 3/2 )² + 2
donc en :
( x - 3/2 )² - ( 3/2 )² + 2 = ( x - 3/2 )² - 9/4 + 2
d’ou
x² - 3 x + 2 = ( x - 3/2 )² - 1/4
l’expression se ramène donc à une différence de deux nombres dont le premier est un carré
:
Idée
& pour factoriser une différence dont le premier terme est un carré nous disposons de l’identité
remarquable a² - b²
rappel :
a² - b² = ( a - b ) ( a + b )
Appliquons ce résultat à notre expression résultante ( x - 3/2 )² - 1/4
1/4 peut être bien sur considéré comme le carré se ½
donc ( x - 3/2 )² - 1/4 = ( x - 3/2 )² - ( 1/2 )²
d’ou ( x - 3/2 )² - 1/4 = ( x - 3/2 - 1/2 ) ( x - 3/2 + 1/2 )
( x - 3/2 )² - 1/4 = ( x - 2 ) ( x - 1 )
conclusion 2 : l’expression x² - 3 x + 2 se transforme en : ( x - 2 ) ( x - 1 )
donc
x² - 3 x + 2 = ( x - 2 ) ( x - 1 )
nous avons atteint notre objectif qui était la factorisation de l’expression . Cet exemple est à étudier
soigneusement si vous éprouvez des difficultés les formations citées en référence sont à reprendre.
2
Le second degré
B. Soit à factoriser x² + 4x +1
Exploitons l’idée précédente
Idée
& il faut arriver à regrouper les termes en x et x² dans un même terme au carré pour cela on
dispose des identités remarquables .
Ici il nous faut regrouper x² + 4x cette expression peut être considérée comme le début du
développement de ( a + b )²
rappel : a² + 2ab + b² = ( a + b )² donc a² + 2ab = ( a + b )² - b²
x² + 4x = a² + 2ab on peut considérer que x = a donc que 4 = 2b c’est à dire que b = 2
on en déduit que :
x² + 4x = ( x + 2 )² - (2)²
donc que :
x² + 4x +1 = ( x + 2 )² - (2)² + 1
et par calcul que :
x² + 4x +1 = ( x + 2 )² - 3
exploitons alors l’idée de la mise en facteur :
:
Idée
 pour factoriser une différence dont le premier terme est un carré nous disposons de l’identité
remarquable a² - b²
rappel :
a² - b² = ( a - b ) ( a + b )
Ici le terme a² correspond à ( x + 2 )² et le terme b² correspond à 3.
rappel : X² = A admet deux solutions si A > 0 qui sont X = a et X = - a
donc on peut choisir a = x + 2 et b = 3
donc ( x + 2 )² -3 = ( x + 2 )² - ( 3 )²
c’est à dire que
( x + 2 )² -3 = (( x + 2 ) - ( 3 ) ) (( x + 2 ) + ( 3 ) )
donc :
x² + 4x +1 = ( x + 2 -
3 ) (x+2 +
conclusion : l’expression x² + 4x +1 se transforme en : ( x + 2 -
3)
3 ) (x+2 +
3)
C. Soit à factoriser x² + 6x +12
Suivons le même type de démarche.
x² + 6x + 12= ( x + 3)² - (3)² + 12
Après identification du début de l’expression au développement de ( a + b )²
détail des calculs : x² + 6x = x² + 2 . 3 . x donc x² + 6x = ( x + 3)² - (3)² car a = x et b = 3
x² + 6x + 12 = ( x + 3)² - (3)² + 12
x² + 6x + 12 = ( x + 3)² - (3)² + 12
x² + 6x + 12 = ( x + 3)² + 3
3
Le second degré
x² + 6x + 12 = ( x + 3)² + 3
x² + 6x + 12 = ( x + 3)² + ( 3 )²
Ici se pose un problème nous n’avons pas de formule de factorisation pour une somme de carrés,
mais nous savons que si une telle expression était factorisable elle le serait sous la forme d’un produit
de deux polynômes du premier degré c’est à dire (ax+b) (cx+d) ce qui est impossible car le signe d’un
tel produit n’est pas constant alors que la somme de deux carrés est toujours positive.
Conclusion : x² + 6x +12 n’est pas factorisable et est de signe toujours strictement positif..(on peut
même dire toujours supérieur ou égal à 3 )
D. Soit à factoriser 2 x² + 8x + 5
Ici la seule chose nouvelle par rapport aux exemples précédents est l’apparition du facteur 2 devant le
terme x²
l’idée est de factoriser ce terme pour nous ramener à une forme classique.
2 x² + 8x + 5 = 2 ( x² + 4x + 5/2 )
suivons alors la méthode des exemples précédents en l’appliquant au terme entre parenthèse.
2 x² + 8x + 5 = 2 ( ( x + 2)². - (2)² + 5/2 )
idée 1
2 x² + 8x + 5 = 2 ( ( x + 2)². - 3/2 )
2 x² + 8x + 5 = 2 ( ( x + 2)². - (
2 x² + 8x + 5 = 2 ( ( x + 2) -
2 x² + 8x + 5 = 2 ( x + 2 -
2
)² )
3
car (
2
) ( ( x + 2) +
3
2
)(x+2+
3
2
)
3
2
)
3
2
)² = 3/2
3
Idée 2
Après calculs
E . Factoriser - 3x² + 7x - 5
- 3x² + 7x - 5 = - 3 ( x² -
7
5
x +
)
3
3
- 3x² + 7x - 5 = - 3 ( (x -
7
7
5
)² - ( )² +
)
6
6
3
- 3x² + 7x - 5 = - 3 ( (x -
7
49
5
)² +
)
6
36
3
- 3x² + 7x - 5 = - 3 ( (x -
7
49
60
)² +
)
6
36
36
- 3x² + 7x - 5 = - 3 ( (x -
7
11
)² +
)
6
36
conclusion : l’intérieur de la parenthèse est une somme de deux nombres positifs dont l’un n’est
jamais nul donc l’expression n’est pas factorisable de plus cette expression est strictement négative.
4
Le second degré
Exercices :
Factoriser si c’est possible :
A(x) = x² - 4x + 3
B(x) = 3x² - 5x + 7
C(x) = x² + x + 1
Correction :
A (x) = ( x - 1) ( x - 3)
B (x) = 3 ( (x -
C(x) = (x +
5
59
)² +
donc n’est pas factorisable
6
36
1
3
)² +
donc n’est pas factorisable
2
4
Remarque : La méthode développée ici ne s’utilise que si les méthodes « classiques » de factorisation ne sont
pas utilisables . ( facteur commun évident ou proportionnel dans chaque terme d’une somme
algébrique, ou bien utilisation des identités remarquables directement. )
Par exemple factoriser : x² + x
x² + x = x (x + 1)
puis factoriser 3 x² + 2 3 x + 1
3 x² + 2 3 x + 1 =
•
( 3) x² + 2
2
3 x + (1 )² = ( 3 x + 1)²
Méthode générale
Soit un polynôme du second degré P(x) = a x² + bx + c avec a ≠ 0
Factorisons ce polynôme :
étape 1
P(x) = a x² + bx + c donc P(x) = a ( x² +
b
c
x+ )
a
a
étape 2 ( utilisation du début du carré (a+b)² )
b
c
b
b
c
x+
) donc P(x) = a ( ( x +
)² - (
)² +
)
2a
a
2a
2a
a
P(x) = a ( x² + 2
P(x) = a ( ( x +
b
b²
c
)² +
)
2a
4a ² a
puis par addition
P(x) = a ( ( x +
b
b ² − 4ac
)² ) cette forme extrêmement importante est appelée
2a
4a ²
forme canonique.
5
Le second degré
On appelle forme Canonique d’un polynôme du second degré P(x) = a x² + bx + c
L’expression :
P(x) = a ( ( x +
b
b ² − 4ac
)² )
2a
4a ²
Remarque : ce résultat important est soit à connaître, soit à savoir retrouver.
Cette forme d'écriture de P(x) permet d’analyser sa factorisabilité, mais aussi d’aider à la
résolution des équations du second degré ainsi qu’à celle des inéquations . Nous verrons dans les
formations sur l’étude des fonctions du second degré que cette forme nous permettra des calculs plus
rapides.
Etape 3 Analyse de la forme canonique.
Remarquons tout d’abord que cette forme est constituée d’un produit de deux facteurs,
l’un constant a,
l’autre ( x +
b
b ² − 4ac
b ² − 4ac
est constitué d’un carré auquel on enlève la quantité
,
)² 2a
4a ²
4a ²
il faut pour pouvoir factoriser identifier cette dernière quantité à un carré . Il est donc nécessaire que
b ² − 4ac
soit positif pour pouvoir factoriser.
4a ²
b ² − 4ac
Etudions donc le signe de
. Le dénominateur de cette fraction est le produit de 4 avec un
4a ²
carré donc toujours positif donc le signe de cette fraction ne dépend que de b² - 4 ac.
conclusion : la factorisabilité de P(x) dépend du signe de b² - 4ac Nous appellerons ce
terme le discriminant du polynôme et nous le noterons ∆ ( lire delta)
∆ = b 2 − 4ac
b
∆
)² )
remarque : la forme canonique peut donc aussi s’écrire P(x) = a ( ( x +
2a
4a²
reprenons notre étude :
1
Si ∆ = b − 4ac est positif au sens large alors l’expression ( x +
2
b
)² 2a
b ² − 4ac
peut être considérée comme la différence d’un carré avec un nombre positif, nous pouvons
4a ²
donc écrire :
 ∆ 
b
b ² − 4ac
b
(x+
)² = (x+
)² - 
2 
2a
4a ²
2a
 4a 
2
par identification à une différence de carrés
( ) 
 ∆
b
b ² − 4ac
b
donc ( x +
)² =(x+
)² - 
 2a
2a
4a ²
2a

donc : ( x +


2
par simplification de la racine
b
b ² − 4ac 
−b + ∆  
−b − ∆ 
)² = x −
 •x −
 et l’expression est
2a  
2a 
2a
4a ²

factorisée
6
Le second degré

par l’utilisation de a² - b² donc P(x) = a  x −

−b + ∆  
−b − ∆ 
 •x −

2a  
2a 
Conclusion 1 : Si ∆ = b2 − 4ac est positif alors P(x) se factorise et :

−b + ∆  
−b − ∆ 
P(x) = a  x −
 •x −

2a  
2a 

2
Si ∆ = b − 4ac est négatif alors l’expression ( x +
2
b
b ² − 4ac
)² peut
2a
4a ²
être considérée comme la différence d’un carré avec un nombre négatif, donc comme la somme de
deux nombres positifs dont l’un est strictement positif. Nous somme donc dans le cas ou aucune
b
b ² − 4ac
)² est strictement positif, le
2a
4a ²
b
b ² − 4ac
signe de P(x) est celui de a ( vu que P(x) = a ( x +
)² .
2a
4a ²
factorisation n’est possible c’est à dire le signe de ( x +
2
Conclusion 2 : Si ∆ = b − 4ac est négatif P(x) n’est pas factorisable et est
de signe constant celui de a/
Cas particulier : Si ∆ =0
ce cas faisant parti du cas général ∆ positif

on a d’après la conclusion 1 : P(x) = a  x −


P(x) = a  x −

−b + ∆  
−b − ∆ 
 •x −
 or ∆ étant nul
2a  
2a 
−b  
−b 
−b + 0  
−b − 0 

 •x −
 donc P(x) = a  x −  •  x − 

2a  
2a 
2a  
2a 
2
b
−b 


on obtient ainsi P(x) = a  x −
 donc P(x) = a  x + 


2a 
2a 
2
b

Conclusion 3 : Si ∆ =0 alors P(x) = a  x + 

2a 
2
7
Le second degré
Conclusion générale :
Soit P(x) =ax² + bx + c avec a ≠ 0
On appelle discriminant du polynôme la quantité ∆ = b − 4ac
2
1
Si ∆ ≥ 0 le polynôme P(x) est factorisable et sa forme factorisée est

P(x) = a  x −

−b + ∆  
−b − ∆ 
 •x −

2a  
2a 
2
Si ∆ = 0 le polynôme P(x) est factorisable et sa forme factorisée est :
3
b

P(x) = a  x +


2a 
Si ∆ p 0 le polynôme n’est pas factorisable et est du signe de a
2
partout.
Remarque : la conclusion précédente est essentielle pour la connaissance à long terme des propriétés
sur le signe d’un polynôme du second degré ainsi que sur la résolution générale des équations du
second degré. Pour les examens un formulaire est fourni qui comporte implicitement les résultats
numériques de ce théorème mais pas ce théorème il faudra donc savoir le retrouver.
Cette propriété peut être utilisée directement ce qui rend plus rapide la factorisation de
polynômes du second degré dans certains cas. (Cas ou la résolution n’est pas évidente)
Exemple d’utilisation :
Factoriser si c’est possible : P(x) = x² +7x +4
Ici a = 1 , b = 7 , c =4
Calculons le discriminant ∆ = b − 4ac donc ∆ = 7² - 4 X 1 X 4
∆ = 49 -16 = 33: donc le discriminant est strictement positif le polynôme est alors factorisable et
2

P(x) = a  x −

−b + ∆  
−b − ∆ 
 •x −
 donc P(x) = a
2a  
2a 

−7 + 33  
−7 − 33 
x −
 •x −

2
2

 

et on a fini !
8
Le second degré
Exercices :
Factoriser si c’est possible les polynômes suivants :
P(x)= - 3x² + 5x + 4
réponse
P(x) = 2x² -2x +7
réponse
P(x) = 6 x² -24 x + 24
réponse
P(x) = 2x² + x + 7
réponse
9
Le second degré
P(x)= - 3x² + 5x + 4
∆ = 25 + 48 = 73
donc ∆ positif
P est factorisable et
P(x) = 2x² -2x +7 P(x) = 6 x² -24 x
+ 24
∆ = 4 - 56 = - 52 ∆ = 576 -576 = 0
donc ∆ est
donc ∆ = 0
P est factorisable
négatif
P
n’est
pas
et
73
P(x) = 6 ( x - 2 )²
) factorisable
P(x) = -3( x -
−5 −
−5 + 73
)( x −6
−6
P(x) = -3( x+
−5 + 73
−5 − 73
)(x+
)
6
6
P(x) = 2x² + x
+7
∆ = 1 - 56 = 55
donc ∆ est
négatif
P n’est pas
factorisable
Remarque : la partie la plus difficile est maintenant passée....
10
Le second degré
2.
Résolution des équations du second degré
A Mise en situation du problème
Définition :
On appelle équation du second degré toute équation pouvant se ramener sous la forme
ax² + bx + c = 0 avec a différent de 0
Nous avons déjà eu l’occasion de résoudre de telles équations par exemple x² - 4 = 0
on écrit alors x²-2² = 0 or x² - 2² = ( x + 2) ( x - 2) donc : x²-2² = 0 peut s’écrire ( x + 2) ( x - 2) = 0
or
Rappel : Un produit n’est nul que si au moins l’un des facteurs le constituant est nul.
x − 2 = 0
x = 2
d’ou 
on a donc obtenu les solutions en factorisant l’expression.
x + 2 = 0
 x = −2
Donc 
Remarque :
D’après ce résultat pour résoudre une équation de degré 2 (ou plus) il suffit de se ramener à un
produit de facteurs dont le résultat doit être nul.
Or nous avons étudié la factorisation de l’expression ax² + bx + c au chapitre précédent.
Rappel :
.
2
1

P(x) = a  x −

−b + ∆  
−b − ∆ 
 •x −

2a  
2a 
2
3
b

P(x) = a  x +


2a 
Si ∆ < 0 le polynôme n’est pas factorisable et est du signe de a partout
2
B Etude théorique
Etudions les trois cas possibles
1
Si ∆ ≥ 0 le polynôme P(x) est factorisable donc :

P(x) = 0 peut s’écrire P(x) = a  x −

−b + ∆  
−b − ∆ 
 •x −
 =0
2a  
2a 
Rappel : Un produit n’est nul que si au moins l’un des facteurs le constituant est nul.
11
Le second degré

a = 0

−b + ∆

= 0 : or a n’est pas nul car le polynôme est du second degré donc
Donc x −

2a

 x − −b − ∆ = 0

2a

−b + ∆
x =
2a

sont les deux solutions de l’équation

−b − ∆
x =
2a

Conclusion 1 : . Soit P(x) =ax² + bx + c avec a ≠ 0
2
Si ∆ ≥ 0 l’équation P(x) = 0 admet deux solutions distinctes qui sont :
x1 =
−b + ∆
2a
et
x2 =
−b − ∆
2a
Si ∆ = 0 le polynôme P(x) est factorisable et l’équation P(x) = 0 peut s’écrire :
2
2
b

a x +
 = 0 or d’après le rappel précédent on obtient :

2a 

a = 0

 x + b = 0 or a n’est pas nul car le polynôme est du second degré donc il y a une seule

2a

b
=0
x +
2a

solution que l’on retrouve deux fois, (on dira que cette solution est double ) qui est :
x+
b
−b
= 0 donc x1 = x2 =
2a
2a
conclusion 2 :
2
si ∆ = 0 l’équation P(x) = 0 admet deux solutions confondues dites « solution
double »
qui sont :
x1 = x2 =
−b
2a
12
Le second degré
3
Si ∆ < 0 le polynôme n’est pas factorisable et est du signe de a partout.
Il est alors certain que P(x) étant strictement positif ou bien strictement négatif n’est jamais
nul
donc l’équation P(x) = 0 n’admet pas de solution.
Conclusion 3 : Soit P(x) =ax² + bx + c avec a ≠ 0
2
Si ∆ < 0 l’équation P(x) = 0 n’admet aucune solution réelle.
.
2
Si ∆ ≥ 0 l’équation P(x) = 0 admet deux solutions distinctes qui sont
1
:
x1 =
−b + ∆
2a
et
x2 =
−b − ∆
2a
2
Si ∆ = 0 l’équation P(x) = 0 admet deux solutions confondues dites
« solution double » qui sont :
x1 = x2 =
−b
2a
Si ∆ < 0 l’équation P(x) = 0 n’admet aucune solution réelle
3
Remarque ce théorème figure dans les formulaires d’examen mais vu sa fréquence d’utilisation il est
bon de le connaître.
Il est intéressant de constater que le théorème étudié au chapitre précédent peut être écrit
quantitativement grâce aux solutions éventuelles de l’équation ax² + bx + c = 0
en effet si ∆ ≥ 0 les solutions de l’équation sont x1 =

factorisation du polynôme s’écrit : P(x) = a  x −

−b + ∆
2a
x2 =
−b − ∆
et la
2a
−b + ∆  
−b − ∆ 
 •x −
 donc nous pouvons aussi
2a  
2a 
(
) (
P(x) = a x − x1 • x − x2
l’écrire :
et
si ∆ = 0 les solutions de l’équation sont x1 = x2 =
)
−b
et la factorisation du polynôme est
2a
:
2
b
2

P(x) = a  x +
 donc nous pouvons aussi l’écrire : P(x) = a ( x − x1 )

2a 
Cette remarque va nous aider à la mémorisation du théorème du chapitre précédent sous la forme
13
Le second degré
.
2
1
(
) (
)
P(x) = a x − x1 • x − x2 où x1 et x2 sont les solutions de l’équation P(x)=0
2
(
P(x) = a x − x1
3
)2
où x1 est la solution double de l’équation P(x)=0
C. Etude méthodologique
1 Résolution d’une équation du second degré
Exemple 1:
Soit à résoudre 5x² - x - 6 = 0
- On identifie a, b, c dans l’expression. Ici a= 5, b = -1 , c = -6 (attention aux
signes)
- On calcule ∆ : ∆ = b − 4ac donc ici ∆ = ( - 1)² - 4 (5) (-6)
2
∆ = 1 + 120 = 121
- On identifie le cadre dans lequel on se trouve en fonction du signe de ∆
Ici ∆ >0
- On en conclu sur l’existence et la valeur éventuelle des racines (solutions) de
l’équation
Ici ∆ >0 donc l’équation admet deux racines distinctes qui sont :
x1 =
donc x1 =
et
x2 =
−b + ∆
2a
et
x2 =
−b − ∆
2a
−( −1) + 121
1 + 11 12 6
donc x1 =
=
=
10
10 5
2(5)
−( −1) − 121
1 − 11
10
donc x2 =
= − = −1
2(5)
10
10
- On conclue :
conclusion l’équation 5x² - x - 6 = 0 admet deux racines distinctes qui sont : x1 =
6
et x2 = −1
5
14
Le second degré
6
5


Que l’on peut noter : l’équation 5x² - x - 6 = 0 admet S =  ;−1 comme ensemble solution.
Exemple 2 :
Suivons plus rapidement cette démarche.
Résoudre l’équation 8 x² - 6x + 1 = 0
a = 8, b = -6, c = 1. Calculons ∆ ; ∆ = b² - 4a c Donc ∆ = ( -6)² - 4 (8) (1)
∆ = 36 - 32 = 4 . Donc le discriminant est positif l’équation admet deux solutions distinctes qui sont
:
x1 =
−b + ∆
2a
Calculons x1 =
et
x2 =
−b − ∆
2a
6+ 4 8 1
6− 4
4 1
=
= et x2 =
=
=
16
16 4
16
16 2
1 1
4 2 
Conclusion : l’équation 8 x² - 6x + 1 = 0 admet S =  ;  comme ensemble solution.
Exemple 3 :
Résoudre l’équation 8 x² - 5x + 1 = 0
a = 8, b = -5, c = 1. Calculons ∆ ; ∆ = b² - 4a c Donc ∆ = ( -5)² - 4 (8) (1) = 25 - 32 = - 7
Le discriminant est ici négatif donc l’équation n’admet aucune solution réelle
Conclusion l’ensemble solution est vide ( on note ) S= ∅
2 Factorisation d’un polynôme du second degré
Exemple :
Factoriser le Polynôme P(x) = 3 x² - 7x +2
Nous allons utiliser le théorème liant la factorisation du polynôme aux racines éventuelles de
l’équation associée.
Résolvons 3 x² - 7x + 2 = 0 Ici a = 3 , b = - 7, c =2 calculons le discriminant: ∆ = b² - 4a c
∆ = ( - 7 )² - 4 ( 3 ) ( 2 ) = 49 - 24 = 25 Donc le discriminant est strictement positif, l’équation admet
7 + 25 12
7 − 25 2 1
=
= 2 et x2 =
= =
6
6
6
6 3
dans cette situation la forme factorisée du polynôme est : P(x) = a ( x − x1 ) • ( x − x2 ) donc ici
deux racines distinctes qui sont : x1 =


1
3
P(x) = 3( x − 2) x − 
Il semble évident que la vitesse d’exécution est largement accélérée par l’utilisation de ces théorèmes ce
qui justifie leur étude systématique.
15
Le second degré
Exercices sur le chapitre 2 : Résoudre les équations suivantes
5x² + 14x -3 = 0
x² - 29x + 210 = 0
x² - x +
1 =0
4
4x² + x - 2 = 0
7x² - 5x - 2 = 0
16
Le second degré
éléments de réponse (attention une rédaction minimum est obligatoire.)
5x² + 14x -3 = 0
∆ =256
2 1
x1 =
=
10 5
et
−30
x2 =
= −3
10
x² - 29x + 210 = 0
x² - x +
∆=1
∆=0
30
= 15
x1 =
2
1
x1 =
2
et
et
28
x2 =
= 14
2
1
x2 =
2
1 =0
4
4x² + x - 2 = 0
7x² - 5x - 2 = 0
∆ = 33
∆ = 81
14
=1
x1 =
14
x1 =
−1 + 33
8
et
et
x2 =
−1 − 33
8
x2 =
−4 −2
=
14
7
Si la question avait été factoriser il suffisait d’appliquer ensuite le théorème sur la factorisation...
D. Elément de simplification des calculs cas où b est pair.
Un cas particulier peut attirer notre attention le cas où b est pair si b est un nombre pair nous pouvons le
noter b = 2b’ où b’ est bien sur la moitié de b.
Soit P(x) =ax² + bx + c avec a ≠ 0 peut alors s’écrire P(x) =ax² + 2b’x + c
le discriminant du polynôme ∆ = b − 4ac = ( 2b') − 4ac =4 b' −4ac
2
2
(
)
donc ∆ = 4 b' − ac notons ∆ ’ la quantité
2
(b' −ac) ;
2
2
(
∆ ’= b'2 − ac
∆ ’ est appelé le discriminant réduit. Ce qu’il y a de’ intéressant c’est que
1
sont :
)
∆ = 4∆' = 2 ∆'
donc
Si ∆ ≥ 0 ce qui revient à ∆'≥ 0 l’équation P(x) = 0 admet deux solutions distinctes qui
−b + ∆
2a
x1 =
et
x2 =
Calculons ces solutions en fonction de ∆ ’
−b − ∆
2a
x1 =
−b + ∆ −2b'+2 ∆ ' −b'+ ∆ '
=
=
2a
a
2a
x2 =
−b − ∆ −2b'−2 ∆ ' −b'− ∆ '
=
=
a
2a
2a
Nous obtenons ainsi des formules simplifiées (pour le calcul)
x1 =
2
−b'+ ∆ '
a
et
x2 =
−b'− ∆ '
a
Si ∆ = 0 ce qui revient à ∆'= 0 l’équation P(x) = 0 admet une solution double qui est
x1 = x2 = −
b
2b'
b'
=−
=− :
a
2a
2a
17
Le second degré
3
Si ∆ p 0 ce qui revient à ∆'p 0 l’équation n’admet pas de solution
18
Le second degré
Conclusion
Formules réduites
P(x) =ax² + 2b’x + c avec a non nul
(
On appelle discriminant réduit et on note ∆ ’ la quantité : ∆ ’= b' − ac
2
)
Si ∆'≥ 0 l’équation P(x) = 0 admet deux solutions distinctes qui sont :
1
x1 =
−b'+ ∆ '
a
x2 =
et
−b'− ∆ '
a
Si ∆'= 0 l’équation P(x) = 0 admet une solution double qui est
2
x1 = x2 = −
b'
:
a
Si ∆'p 0 l’équation n’admet pas de solution
3
Ce dernier théorème est marginal et ne représente qu’un intérêt de simplification de calcul. Il est à
retenir si vous voulez simplifier au maximum vos calculs..
Pour vous entraîner utilisez donc ces formules sur les exercices précédents où b est pair.
......... à vos stylos !!!
E. Elément de simplification des calculs, somme et produit des racines.
.
∆ = b2 − 4ac plaçons nous dans le cas du discriminant positif ou nul
∆ ≥ 0 le polynôme P(x) est factorisable et sa forme factorisée est
rappel ;
(
) (
)
Développons cette dernière expression :
(
) (
) 2
2
Donc P(x)= = ax − a ( x1 + x2 ) x + ax1 x2
(
)
P(x) = a x − x1 • x − x2 = a x − axx1 − axx2 + x1 x2 = ax − a x1 + x2 x + ax1 x2
2
or P(x) = ax² + bx + c pour tout x réel donc par
identification des coefficients nous obtenons :
a = a

b = − a ( x1 + x2 )
c = ax1 x2
donc
x1 + x2 = −
b
a
et
x1 x2 =
c
a
On peut en conclure qu’un polynôme du second degré admettant des racines a des coefficients qui
s’écrivent en fonction de la somme et du produit de ses racines.
Si on note S la somme des racines c’est à dire S= x1 + x 2 et P le produit de ses racines c’est à dire
P= x1 x2 Le polynôme P(x) = ax² + bx + c peut s’écrire P(x) = ax² - aS x + a P où encore
P(x) = a ( x² - Sx + P ) où S et P sont la somme et le produit des racines de P(x).
19
Le second degré
Conclusion :
(
) (
P(x) = a x − x1 • x − x2
)
Soit S la somme de ses racines et P le produit de ses racines
alors : S= x1 + x 2 = −
b
a
et
P= x1 x2 =
c
a
P(x) = a ( x² - Sx + P )
Première conséquence de ce théorème si l’on connaît une racine d’un polynôme on sait calculer
l ’autre de manière directe
Exemple: soit P(x) = 3x²-2x-1 Calculer P(1) , puis factoriser ce polynôme.
Réponse : P(1)= 3 - 2 - 1= 0 donc 1 est racine du polynôme (c’est une solution de l’équation P(x) = 0 )
donc P(x) admet une racine son discriminant est donc forcement positif ou nul , cherchons l’autre racine
notons les x’ et x" = 1 on sait que P= x ' x" =
c
−1
−1
donc x’ =
donc 1x’=
a
3
3
Le polynôme admet donc deux racines distinctes et se factorise sous la forme
P(x) = a ( x − x ') • ( x − x")
P(x) = 3 ( x - 1) ( x +
1
)
3
commentaire cette méthode nous a permis d’éviter de calculer le discriminant ...
Deuxième conséquence de ce théorème Il permet de résoudre les problèmes (nombreux en particulier
en physique et en mathématiques commerciales ) de recherche de nombres connaissant leur somme et
leur produit.
Exemple : Soit deux nombres x et y tels que x + y = 5 et xy = - 6 trouver x et y
supposons que ces deux nombres soient les racines d’une équation du second degré alors
S = 5 et P = - 6 Ces nombres sont donc solutions des équations a (x² - Sx + P) = 0 où a est non nul.
On peut bien sur choisir a = 1 Il nous reste alors à résoudre l’équation x² - 5x -6 = 0
∆ = 25 +24 = 49 donc cette équation admet deux solutions qui sont :
x1 =
5 + 49 12
=
=6
2
2
et
x2 =
5 − 49
2
= − = −1
2
2
les nombres cherchés sont donc 6 et - 1.
Troisième conséquence on connaît le signe des racines éventuelles d’un polynôme sans les calculer.
Exemple : trouver le signe des racines du polynôme P(x) = 7 x² - 9x + 4
Si ce polynôme admet des racines leur somme est S =
9
4
et leur produit est P =
7
7
Le produit des racines est positif donc les racines sont de même signe et leur somme est positive donc
les racines si elles existent sont toutes deux positives.
20
Le second degré
Remarque on se sert en premier de la règle des signes sur le produit ( même signe si produit positif ,
signe contraire si produit négatif. ) puis si besoin on trouve le signe en se servant du signe de la somme.
Remarque Pour aider à la rapidité des calculs dans la résolution d’équation ou la factorisation de
polynômes il est intéressant de s’habituer à la reconnaissance d’une racine lorsque celle ci est dite
« évidente ».
Aucune méthode complète de reconnaissance rapide de racine n’existe de manière
universelle, mais certains cas sont à reconnaître.
Cas ou 1 est racine
P(x) = ax² + bx + c donc P(1) = 0 d’où a + b + c = 0
conclusion si a + b + c = 0
1 est racine du polynôme
c
l’autre racine est donc égale à
car est égale au produit.
a
Cas ou - 1 est racine P(x) = ax² + bx + c donc P(-1) = 0 d’où a - b + c = 0
conclusion si a - b + c = 0
l’autre racine est donc égale à -
-1 est racine du polynôme
c
car est égale à l’opposé du produit.
a
Cas ou 2 est racine P(x) = ax² + bx + c donc P(2) = 0 d’où 4a -+2b + c = 0
conclusion si 4a + 2b + c = 0
2 est racine du polynôme
c
l’autre racine est donc égale à
- car est égale à la moitié du produit.
2a
Cas ou - 2 est racine P(x) = ax² + bx + c donc P(-2) = 0 d’où 4a --2b + c = 0
conclusion si 4a - 2b + c = 0
l’autre racine est donc égale à -
-2 est racine du polynôme
c
- car est égale à l’opposé de la moitié du produit.
2a
Cas particulier dit « visible » Exemple P(x)= x −
2
(
)
3+ 2 x+ 6
6 = 3 2 donc la forme de P(x) est exactement x² - Sx + P donc les deux
racines de cette équation sont 3 et 2 .
On remarque que
Exercices
1 Trouver deux nombres de somme S et de produit P
S=27 et P=50
S= -12 et P = 11
S= 14 et P =33
2 Résoudre le plus rapidement possible
x² - 7x + 6 =0
5x² + 9x + 4 =0
ax² + bx + c = a + b + c
: éléments de correction
S=27 et P=50
S= -12 et P = 11
S= 14 et P =33
21
Le second degré
....
x² - 27x +50 = 0
2 est racine évidente l’autre est
25
x² - 7x + 6 =0
1 est racine donc 6 l’est aussi
...
x² + 12x +11 = 0
- 1 est racine évidente l’autre est
-11
5x² + 9x + 4 =0
- 1 est racine donc - 4 l’est aussi
... x² - 14x +33 = 0
3 est racine donc l’autre est
11
ax² + bx + c = a + b + c
1 est racine donc
−a − b
l’est aussi ,
a
développez !!
N’hésitez pas à ce niveau à faire un maximum d’exercices, les livres de BEP, de première regorgent
d’exercices sur les polynômes du second degré et sur les équations... entraînez vous !
22
Le second degré
3.
Résolution des inéquations du second degré
A Mise en situation du problème
Rappel : On sait résoudre les inéquations de degré supérieur à un si elles se présentent sous la forme
de produits de facteurs du premier degré dont on cherche le signe.
Exemple : Soit à résoudre dans l’ensemble des nombres réels (x-7) (2x+4) > 0
Pour résoudre ce type d’inéquation il suffit d’étudier le signe du produit donc de chacun des
facteurs et d’utiliser la règle des signes.
- Etudions le signe de x - 7 .
x - 7 > 0 revient à écrire x > 7 donc x - 7 est positif de 7 exclu jusqu’à plus l’infini et est négatif de
moins l’infini jusqu’à 7 ,, il est bien sur nul en 7 ce qui mathématiquement peut s’écrire :
x - 7> 0 ⇔ x ∈ 7;+∞ et x - 7< 0 ⇔ x ∈ −∞;7
]
[
]
[
on peut aussi symboliser se résultat dans le tableau suivant
x
x-7
−∞
+∞
7
0
-
+
remarque : si vous avez des problèmes sur cette recherche reprendre le chapitre inéquations du premier
degré
- Etudions le signe de 2x + 4
2x + 4 > 0 ⇔ x > -2 donc :
x
2x + 4
−∞
+∞
-2
0
-
+
- Utilisons maintenant la règle des signes d’un produit la manière la plus simple de la
symboliser est encore le tableau de signe appelons P le produit (x - 7) ( 2x + 4)
x
x-7
2x + 4
P
−∞
-2
+
+∞
7
0
0
0
+
+
--
0
+
nous avons utilisé le fait que le produit de deux quantités de même signe a un résultat positif et que le
produit de deux quantités de signe différent a un résultat négatif .
Donc les solutions de l’inéquation de départ (x-7) (2x+4) > 0 sont représentées par l’espace
positif de la dernière ligne du tableau ( parties blanches de la dernière ligne.)
(x-7) (2x+4) > 0 ⇔ x ∈ −∞;−2 ∪ 7;+∞
]
[ ]
[
c’est à dire x est strictement inférieur à -2 ou est strictement supérieur à 7
D’après l’étude de cet exemple pour résoudre une inéquation du second degré il nous suffira de la
mettre sous la forme d’un produit dont on recherche le signe si bien sur la factorisation est possible.
23
Le second degré
B. Méthode théorique générale
Pour résoudre une inéquation du second degré il nous suffira de la ramener à l’étude du signe
d’un polynôme du second degré, et pour ce faire on étudiera sa factorisabilité.
or
Rappel :
.
2
1
(
) (
)
2
(
P(x) = a x − x1
)2
3
Trois cas vont donc se présenter dans la recherche du signe de P(x) (donc dans la résolution
d’inéquations du second degré ).
- Si ∆ < 0 le polynôme n’est pas factorisable et est du signe de a partout l’étude du signe est
finie.
- Si ∆ = 0 le polynôme P(x) est factorisable et sa forme factorisée est :
(
P(x) = a x − x1
)2
(
Etudions le signe de la forme factorisée, x − x1
)2
est un carré donc toujours positif et n’est nul que
b
donc le signe de P(x) est celui de a partout et ne s’annule que pour sa valeur racine
2a
- Si ∆ ≥ 0 le polynôme P(x) est factorisable et sa forme factorisée est
P(x) = a ( x − x1 ) • ( x − x2 ) où x1 et x2 sont les solutions de l’équation P(x)=0
si x = x1 = −
Etudions le signe de la forme factorisée,
(
) (
Pour étudier son signe il nous faut étudier le signe de x − x1 • x − x2
)
le problème que nous rencontrons pour l’étude due ce signe est que nous ne savons pas laquelle des
deux racines est la plus grande pour pouvoir utiliser le tableau de signes. Nous noterons x" la plus
petite des deux racines et x' la plus grande . le produit peut alors s’écrire P(x) = a ( x − x')( x − x")
Construisons le tableau de signe du produit
( x − x')
x
( x − x")
Prod
a
ax²+bx+c
−∞
( x − x')( x − x")
x"
0
0
signe de a
0
+∞
x'
0
+
puis celui de P(x)
+
+
-signe de a
signe opposé de a
0
+
0
signe de a
24
Le second degré
Nous en concluons que le signe d’un polynôme du second degré à discriminant positif est celui de a à
l’extérieur de ses racines et donc bien sur du signe opposé à celui de a à l’intérieur de ses racines .
−∞
x
ax²+bx+c
x’
signe de a
0
+∞
x"
signe opposé de a
0
signe de a
2
1
Si ∆ ≥ 0 le signe du polynôme P(x) est celui de a à l’extérieur de ses
racines et celui de - a à l’intérieur de ses racines et est nul pour ses deux valeurs racine
−b + ∆
−b − ∆
et x2 =
2a
2a
Si ∆ = 0 le signe du polynôme P(x) est celui de a et n’est nul que sur
x1 =
2
sa racine
x1 = x2 = −
(
P(x) = a x − x1
)2
b'
:
a
Si ∆ < 0 le polynôme est du signe de a partout
3
ou schématiquement :
1
Si ∆ ≥ 0 P(x) admet deux racines distinctes notons x ’la plus petite d’entre elles et x"
l’autre alors
−∞
x
ax²+bx+c
2
x’
signe de a
+∞
x"
signe opposé de a
0
signe de a
Si ∆ = 0 le signe du polynôme P(x) est celui de a et n’est nul que sur sa racine
x
ax²+bx+c
3
0
−∞
+∞
x1
signe de a
0
signe de a
Si ∆ < 0 le polynôme est du signe de a partout
x
ax²+bx+c
−∞
+∞
signe de a
Conclusion sur la méthode :
Pour résoudre une équation du second degré nous nous ramènerons à
l’étude du signe d’un polynôme du second degré ce qui d’après le théorème précédent nous
ramène à l’étude des racines de ce polynôme.
Exercices :
25
Le second degré
1.
Résoudre 3x² + 5x +
3
≤0
2
Calculons le discriminant du polynôme P(x) = 3x² + 5x +
3
2
3
) = 7 donc le polynôme admet deux racines distinctes qui
2
−5 + 7
−5 − 7
−b − ∆
x2 =
donc ici x1 =
et x 2 =
2a
6
6
∆ = b2 − 4ac donc ici ∆ = 25 - 4 (3)(
−b + ∆
2a
sont : x1 =
et
la plus petite des deux est ici x2 d’où le polynôme étant du signe de a (c’est à dire positif ) à l’extérieur
de ses racines les solutions de l’inéquation proposée sont à l’intérieur des racines bornes comprises car
l’inéquation est au sens large . conclusion : 3x² + 5x +
 −5 − 7 − 5 + 7 
3
≤ 0 ⇔ x ∈
;

6
6 
2

La présentation n ’est bien sur pas unique, on aurait aussi pu présenter ceci :
x
ax²+bx+c
3x² + 5x +
−∞
+∞
signe de a
x2
0
signe opposé de a
x1
0
signe de a
+
0
-
+
+
3
2
Donc l’ensemble solution de 3x² + 5x +
3
≤ 0 se situe entre ses racines , racines comprises
2
 −5 − 7 −5 + 7 
;
.
6 
 6
donc S = 
2. Résoudre - 3x² + 5x -3 > 0
Calculons le discriminant du polynôme P(x) = - 3x² + 5x -3
∆ = b − 4ac donc ici ∆ = 25 - 36 = - 9 donc le discriminant est strictement négatif, le polynôme
n’a donc pas de racine, et est de signe constant celui de a d’après le théorème précédent .
Le polynôme est donc de signe strictement négatif partout donc l’ensemble solution à
l’inéquation est vide? Il n’y a aucune solution réelle à cette inéquation.
2
Exercices : Résoudre
5x² + 4x +1 >0
3x² +4x -2 <0
3x²+ 6x+6 <0
-2x² +5x -7 ≤ 0
26
Le second degré
5x² + 4x +1 >0
Tout nombre est
solution
3x² +4x -2 <0
 −2 − 10 −2 + 10 
;

3
3


3x²+ 6x+6 <0
pas de solution
S= 
-2x² +5x -7 ≤ 0
tout nombre est
solution.
Vous savez maintenant l’essentiel du cours sur le second degré....
C’est un cours qui se travaille en profondeur car....
L’utilisation extrêmement fréquente que nous en aurons justifie cette étude poussée, tant au niveau
des résultats pour tous, qu’au niveau des méthodes pour la plupart car elles seront employées dans
d’autres chapitres ....
27
Le second degré
EXERCICES ET PROBLEMES
A Résoudre les équations suivantes :
5x2+14x-3=0
0,2x²-1,7x+0.5=0
3x²+4x+1=0
x² + x - 7 = 0
x² + 5x - 24= 0
2x²+ 2x-5 = 0
2x² + 4x - 5 = x² + 3x
B. 1) Résoudre les équations
f(x)=10x² -17x + 3 = 0 et g(x)= 5x² + 14x - 3 = 0.
2) Ecrire f(x) et g(x) sous forme de produits de facteur du premier degré.
3)
Simplifier
f ( x)
après avoir déterminer son ensemble de définition
g( x)
C. Dans les exercices 1 â 7, on donne une fonction polynôme du second degré f.
On demande de mettre f(x) sous forme canonique;
1. f(x)=x² + 2x + 2.
2.
f(x)=-5x2 + x + 1.
3. f(x)=x2 + 2x - 1.
f(x)=-x2 + x + 1.
5.
f(x)=x2 + x -1.
6. f(x) = 3x2 + 5x - 1
4
7. f(x) = - 3x2 - 5x + 10.
28
Le second degré
E. Résoudre les équations définies dans R.
1. x2 - 16 = (2x + 3) (x + 4).
3
.
x4 + 3x2 + 2 = 0.
2.
4.
x4 + x2 + 4 = 0.
5x4 - 3x2 - l4=0.
5.
x4+4=0.
F. Résoudre les inéquations suivantes :
x2 - 3x < 3.
2.
x2 - x - 1 > 0.
3.
4. x2 - 19x + 84 < 0.
5.
2x - 1 > x2 + 4.5..
x2 + 1 > 2x - 3.
1
G . Résoudre :
 x + y = 12
1. 
 xy = 5
-5x2 + 5x + 1 > 0.
2. x² - (a+b)x +ab = 0 où a et b sont deux nombres réels.
29

Le second degré.

Transcription

Documents pareils

Fiche Révision n°1. Polynôme et équation du 2nd degré L

Devoir surveillé n°1 1 ES/L

Never say never !

TP : Equations du 2 degré à coefficients complexes

Exercices sur les polynômes.

La Merci - Montpellier Interrogation Exercice 1 : Résoudre dans ℝ

Première STMG - Fonction polynôme de degré 3

Première S - Trinôme du second degré

POLYNOMES DU SECOND DEGRE I) Polynômes II) Fonction

Équation du 2ème degré – Chapitre 12