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MPSI B
21 janvier 2017
Énoncé
a. Calculer Y0 , Y1 , Y2
b. Montrer que le polynôme S = X 4 + 4X 3 − 2X 2 − 2X − 1 est dans Imf .
c. Déterminer une primitive de
Pour tout k ∈ N, on désigne par Rk [X] l'espace vectoriel formé par les polynômes de
degré inférieur ou égal à k. Soit m et n deux entiers naturels tels que
m > 2,
0<n<
m
2
X 4 + 4X 3 − 2X 2 − 2X − 1
(X 3 − X + 1)2
Soit A un polynôme unitaire de degré n et I un intervalle de R qui ne contient pas de racine
de A. On notera
J = J0, mK,
sans chercher à décomposer en éléments simples.
d. Donner une condition nécessaire et susante que doivent vérier les réels
a, b, c, d, e pour que le polynôme aX 4 + bX 3 + cX 2 + dX + e soit élément de
Imf .
A = X n + an−1 X n−1 + · · · + a1 X + a0
Soit f l'application de Rm [X] dans R[X] dénie par
f (P ) = AP 0 − P A0
où P 0 et A0 sont respectivement les polynômes dérivés de P et A.
1. a. Déterminer en fonction de m et n la valeur maximale p du degré de f (P ).
b. Montrer que f est une application linéaire de Rm [X] dans Rp [X]
c. Soit Q ∈ R[X] tel que QA ∈ Rm [X]. Déterminer f (QA).
d. En utilisant une formule de dérivation sur I , déterminer ker f . En déduire rg f .
2. Pour tout élément i de J , on pose Yi = f (X i ).
a. Montrer que la famille de polynômes (Yi )i∈J−{n} est une base de l'image de f .
b. En calculant f (A), déterminer les coordonnées de Yn dans cette base.
3. a. Pour tout élément i de J , étudier le degré du polynôme Yi .
b. Déterminer la valeur minimale du degré d'un polynôme S non nul dans Imf .
c. En utilisant la question 1.c., montrer que tout polynôme de Rp [X] divisible par
A2 appartient à Imf
En déduire qu'un polynôme S de Rp [X] appartient à Imf si et seulement si le
reste R de sa division par A2 appartient à Imf .
Pour tout polynôme S de Imf , déterminer alors la valeur maximale de deg R.
4. a. Soit P élément de Rm [X], déterminer l'ensemble des primitives sur I de AS2 avec
S = f (P ).
b. En déduire une primitive de AYi2 pour tout élément i ∈ J .
5. Dans cette question, m est un entier strictement supérieur à 6. On donne
A = X3 − X + 1
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France
disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
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Rémy Nicolai Aales92
MPSI B
21 janvier 2017
Corrigé
1.
c. Un polynôme divisible par A2 est de la forme A2 Q. Il est dans l'image de f car
on peut écrire
a. Si s 6= n est le degré de P , celui de f (P ) est s + n − 1. Lorsque le degré de P est
n, celui de f (P ) est au plus 2n − 2. Le degré maximal est alors p = n + m − 1.
b. Linéarité évidente.
c. Calcul immédiat :
A2 Q = f (AQ1 )
f (QA) = A2 Q0
d. Il est clair que f (P ) = 0 si et seulement si la fonction rationnelle PA est constante.
On remarque que la fonction est dénie dans R car le polynôme A est sans racine
réelle. Si P est dans le noyau de f , il existe donc un réel λ tel que Pe = λAe.
Attention, la relation précédente est relative à des fonctions. On en déduit l'égalité
polynomiale en remarquant que P −λA admet une innité de racines. Finalement :
4.
ker f = Vect(A)
2.
V = Vect X i , i ∈ J
est un hyperplan supplémentaire de ker f car il ne peut pas contenir A à cause
du degré. On en déduit que la restriction de f à V est injective et donc que
5.
i∈J
b. Pour i ∈ J , une primitive de AYi2 est
a. On trouve après calcul direct :
Xi
A .
b. On peut exprimer S = X 4 + 4X 3 − 2X 2 − 2X − 1 comme combinaison des Yi en
utilisant systématiquement le terme de plus haut degré. On obtient
S = −Y2 − 2Y1 + Y0
c. On déduit de la question précédente que
−X 2 − 2X + 1
A
deg(f (P )) = n + deg(P ) − 1 ≥ n − 1
est une primitive de la fraction proposée.
d. D'après les questions précédentes, un polynôme P est dans l'image si et seulement
si il est combinaison des Yi c'est à dire s'il existe u, v , w tels que
Si P est de degré n est n et de coecient dominant λ.
avec deg(R) < n
avec deg(f (R)) = deg(R) + n − 1 ≥ n − 1
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France
disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
P
+C
A
Y2 = −X 4 − X 2 + 2X
a. On a déjà montré que le degré de Yi est n + i − 1.
b. Soit S = f (P ) un polynôme non nul dans l'image de f . Montrons que le plus
petit degré possible pour S est n − 1 (= deg(A) − 1).
Ce degré est atteint pour S = f (1) = −A0 .
Si le degré de P n'est pas n. Alors
P = λA + R
0
Y1 = −2X 3 + 1
Yn = −a0 X0 − a1 Y1 − · · · − an−1 Yn−1 (pas de terme en ai Yi )
f (P ) = f (R)
P
A
Y0 = −3X 2 + 1
est libre. Comme elle a le bon nombre de vecteurs, c'est une base de l'image.
b. On a déjà vu que f (A) = 0. On en déduit :
3.
AP 0 − A0 P
f (P )
=
=
A2
A2
sont les fractions rationnelles
De plus, rg(f ) = dim Rm [X] − 1 = m.
a. On vérie que
Yi
où Q1 est un polynôme "primitif" (c'est à dire tel que Q01 = Q.
Supposons P = A2 Q+R avec R dans l'image. Alors, comme A2 Q est dans l'image,
P aussi.
Réciproquement, supposons P = f (P1 dans l'image. Écrivons la division P =
A2 Q + R de P par A2 . Comme A2 Q = f (Q1 ), R = f (P1 − Q1 ) est aussi dans
l'image.
La valeur maximale du degré de R est n = (n − 1) + 1 = 2n − 2.
a. Les primitives de
P = −wX 4 − 2vX 3 − (w + 3u)X 2 + 2wX + v + u
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Le polynôme P est donc dans l'image si et seulement si le système suivant (aux
inconnues u, v , w)















−w = a
−2v = b
−w − 3u = c
2w = d
v+u=e
admet des solutions. On obtient très facilement que la condition cherchée est


−2a = d
b
a
− + − c = e
2 3 3
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