Diagonalisation des matrices carrées : trucs et astuces

Diagonalisation des matrices carrées : trucs et
astuces
M désigne une matrice de Mn (R).
1. On suppose que M est diagonalisable.
Justifier que :
X
Tr(M) =
dim(Eλ ) × λ.
λ∈Sp(M)
2.
On suppose que la somme des coefficients de chaque ligne de M
vaut s :
n
X
∀i ∈ [[1 ; n]] ,
mi,j = s.
j=1
3.
Montrer que s est une valeur propre de M et préciser un vecteur
propre associé à s.
On suppose que la somme des coefficients de chaque colonne de M
vaut s :
n
X
∀j ∈ [[1 ; n]] ,
mi,j = s.
i=1
4.
5.
6.
7.
Montrer que s est une valeur propre de M.
On suppose M non inversible. Donner une valeur propre de M et
préciser le sous-espace propre associé.
On suppose que M ne possède qu’une valeur propre. Donner une
condition nécessaire et suffisante pour que M soit diagonalisable.
Remplir le tableau suivant à l’aide de quatre matrices de M2 (R).
diagonalisable non diagonalisable
!
!
? ?
? ?
inversible
? ?
? ?
!
!
? ?
? ?
non inversible
? ?
? ?
−1
Pour vérifier que P MP = D sans inverser P...
Montrer que :
P−1 MP = D ⇔ (P inversible et MP = PD).
Lycée Henri Poincaré
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