Diagonalisation

Denis Pasquignon
Diagonalisation
Résumé du cours :
1. Sous-espaces stables
Soit f un endomorphisme de E, un sev F de E est stable par f si f (F ) ⊂
F.
On peut considérer la restriction de f à F qui est un endomorphisme de
F.
On considère une famille de sev (Ei ) supplémentaires de E cad
E = E1 ⊕ · · · ⊕ Ep .
On dit que f stabilise les sev Ei si pour tout i Ei est stable par f .
Si de plus E est de dimension finie, il existe une base de E dans laquelle
la matrice de F est une matrice diagonale de matrice.
2. Valeurs propres et vecteurs propres
Eléments propres d’un endomorphisme
Soit E un espace vectoriel sur K et f ∈ L(E). Le scalaire λ ∈ K est une
valeur propre de f s’il existe un vecteur u non nul de E tel que f (u) = λu.
L’ensemble des valeurs propres est le spectre de f . Tout vecteur u non nul
tel que f (u) = λu est appelé vecteur propre associé à la valeur propre λ.
On appelle sous-espace propre associé à la valeur propre λ le sous-espace
vectoriel Eλ de E défini par Eλ = Ker(f − λIdE ).
si E est de dimension finie
0 est valeur propre de f ⇐⇒ f n’est pas bijectif.
famille libre de vecteurs propres Soit f ∈ L(E), et soient λ1 , · · · , λp
p valeurs propres distinctes de f . Alors toute famille (u1 , · · · , up ) de p
vecteurs propres respectivement associés à λ1 , · · · , λp est une famille libre
de E.
nombre de valeurs propres Soit f ∈ L(E), et dim(E) = n. Le nombre
de valeurs propres distinctes est inférieur ou égal à n.
Somme de sous-espaces propres Soit f ∈ L(E), si f admet p valeurs
propres distinctes λ1 , · · · , λp , alors les sous espaces propres Eλ1 , · · · , Eλp
sont en somme directe.
Eléments propres d’une matrice
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3. Diagonalisation
Soit E un espace vectoriel sur K de dimension finie et f ∈ L(E). f est dit
diagonalisable s’il existe une base B de E telle que la matrice de f dans
la base B est diagonale.
Soit E un espace vectoriel sur K de dimension finie et soit f ∈ L(E), les
propositions suivantes sont équivalentes:
(a) f est diagonalisable,
(b) il existe une base B de E formée de vecteurs propres de f ,
(c) E est somme directe des sous-espaces propres de f ,
(d) La somme des dimensions des sous-espaces propres de f est égale à
la dimension de E.
Condition suffisante de diagonalisation Soit E un espace vectoriel
sur K de dimension finie n et soit f ∈ L(E), si f admet n valeurs propres
distinctes alors f est diagonalisable.
Projecteur Tout projecteur p de E de dimension finie est diagonalisable.
Diagonalisation d’une matrice carrée
Une matrice carrée est dite diagonalisable si elle est semblable à une matrice diagonale c’est-à-dire il existe une matrice P inversible et une matrice
diagonale D telle que
D = P −1 AP.
Soit A une matrice carrée d’ordre n, si A admet une unique valeur propre
λ alors A est diagonalisable si et seulement si A = λIn .
Soit A une matrice carrée d’ordre n, si A est une matrice triangulaire
dont tous les coefficients sur la diagonale sont distincts alors A est diagonalisable.
4. Polynômes annulateurs
Soit P ∈ K[X]. Soit f un endomorphisme de E, P est un polynômes
annulateur de f si P (f ) = 0.
Soit A une matrice carrée d’ordre n, P est un polynômes annulateur de
A si P (A) = 0.
Soit f un endomorphisme de E, λ une valeur propre et x un vecteur propre
associé à λ:
pour tout n entier naturel, λn une valeur propre de f n et x un vecteur
propre associé à λn , P (λ) est une valeur propre de P (f ) et x vecteur
associé à P (λ),
si f est bijective, λ1 est une valeur propre de f −1 et x un vecteur propre
associé à λ1 . Si P est annulateur de f (resp. de A)les seules valeurs
propres possibles de f (resp. A) sont les racines de P .
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Exercice 1 Ces matrices sont-elles diagonalisables ?


1 3 4
1 1
M0 =
, M1 =  0 2 5  ,
0 1
0 0 1

1/3 1/3
M2 =  2/3 1/2
0
1/6

−1
0
 0

1  , M3 = 
0
0
0

0
−2
1
0
0
1
−2
0


0


0 
 , M4 = 


0

−1
Exercice 2 Soient les matrices



0 1 0
1
A =  0 0 1  et B =  0
1 −3 3
0
1
1
0
1
0
0
0
0
−1
3
0
0
0
0
0
1
−1
8

0
1 .
1
Montrer que A n’est pas diagonalisable et que A et B sont semblables.
Exercice 3 (Oral HEC) Soit t réel et la matrice


t
1
t−1
0
1 
A(t) =  1
1 t + 1 −t
.
1. Déterminer pour quelles valeurs de t, la matrice A(t) est inversible.
2. Montrer que si t 6= −1, la matrice A(t) est diagonalisable.
3. Si t = −1, A est-elle diagonalisable ? En utilisant les vecteurs V1 =
(−1, 1, 1) et V2 = (0, 1, 1), montrer que A(−1) est semblable à


0 a b
B= 0 0 1 
0 0 0
.
Exercice 4 Soit la matrice



An = 


1
2
3
···
n
2
0
0
···
0
3
0
0
···
0
···
···
···
···
···
n
0
0
0
0






1. Montrer que E = {X ∈ Rn An X = 0} est un sous-espace vectoriel de
Rn .
3
0
0
0
2
5
0
0
0
0
3






2. Déterminer la dimension de E et une base de E.
3. Diagonaliser An : on donnera les valeurs propres et sous espaces propres
associés.
Exercice 5 (HEC 94) Soit E un espace vectoriel et g un endomorphisme de E
vérifiant : g ◦ g − 3g + 2Id = 0.
1. Montrer que g est inversible et donner son inverse.
2. Montrer que : ∀n ∈ N , il existe (an , bn ) ∈ R2 tel que g n = an Id + bn f où
f = g − Id. Déterminer les suites (an ) et (bn ).
3. Quelles sont les valeurs propres éventuelles de g ?
4. En remarquant que : (g − Id) − (g − 2Id) = Id, montrer que g est diagonalisable.
Exercice 6
1. Montrer que toute matrice A de Mn (R) vérifiant A2 = 4In
est diagonalisable.
2. Soit A de Mn (R) vérifiant A2 (A − In) = 0 et A(A − In) 6= 0. Quelles
sont ses valeurs propres ? Montrer que A n’est pas diagonalisable.
Exercice 7
1. Montrer que la matrice

0 1
A= 0 0
1 0

0
1 
0
est diagonalisable dans Mn (C) mais ne l’est pas dans Mn (R).
2. Montrer que toute matrice A de Mn (C) vérifiant A3 = In est diagonalisable. Le résultat reste-t-il valable pour A ∈ Mn (R) ?
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