Lyon 1 Semestre d`automne 2015-2016 Alg`ebre III

Université Claude Bernard - Lyon 1
Semestre d’automne 2015-2016
Algèbre III - Math2020L
Lundi 07 décembre
Devoir surveillé n◦ 2
Durée: 1h15.
Exercice 1. (/5) (Questions du cours)
1. Rappeler la décomposition de Dunford d’une matrice A ∈ Mn (C).
2. Donner un exemple de matrice non nulle N ∈ M3 (C), vérifiant N 2 = 0
et un exemple vérifiant N 2 6= 0 et N 3 = 0.
3. Donner une matrice D, non diagonale dans M4 (C), qui est diagonalisable.
4. Donner la décomposition

2
A = 0
0
de Dunford des matrices


1 5
1 0
2 1 ,
B = 0 2
0 0
0 2
Exercice 2. (/4) On considère la matrice

1 a

B= 0 1
0 0
suivantes :

0
4 .
3
suivante

b
c .
0
A quelles conditions sur les réels a, b, et c la matrice B est-elle diagonalisable ?


4
1 −1
Exercice 3. (/11) Soit A = −6 −1 2 .
2
1
1
1. Montrer que A est inversible.
2. Calculer son polynôme caratéristique unitaire P (X) := det(XI3 − A) et
en déduire que Sp(A) = {1, 2}.
3. En déduire A−1 par le théorème de Cayley-Hamilton.
4. Calculer le polynôme minimal de A.
5. Est-ce que A est diagonalisable ?
6. Pour n ≥ 0, déterminer le reste de la division euclidienne de X n par le
polynôme caratéristique de A.
7. En déduire une expression polynomiale de An et puis la matrice An pour
n ≥ 0.
Corrigé
I. (1+1+1+2)
1. Toute matrice A dans Mn (C) peut s’écrire de façon unique sous la forme
A = D + N , où D est une matrice diagonalisable et N est une matrice
nilpotente, et

0

2. Si N1 = 0
0
3
et N = 0.
DN = N D.



0 1
0 1 0
0 0, alors N12 = 0. Si N = 0 0 1, alors N 2 = N1
0 0
0 0 0

1 1 0
0 2 1
3. La matrice N = 
0 0 3
0 0 0
propores distinctes :1, 2, 3,

0
0
 est diagonalisable car elle a quatre valeurs
0
4
4.
4. On a les décompositions de Dunford de A et B



2 1 0
0
A = 0 2 1 = 2I3 + 0
0 0 2
0
comme suit :

1 0
0 1
0 0
et B = B + 0 car B est diagonalisable.
II. (2+2) Le polynôme caractéristique de A est |XI3 − A| = X(X − 1)2 et donc
1 est une valeur propre double et 0 une valeur propre simple. La matrice B est
diagonalisable si et seulement si

1 a

B(B − I) = 0 1
0 0
X(X − 1) est le polynôme minimal de B. Or

 

0 a ac
0 a b
b
c  0 0 c  = 0 0 0  .
0 0 −1
0 0 0
0
Donc B est diagonalisble si et seulement si a = 0.
N.B. On peut aussi calculer la multiplicité géométrique de chaque valeur propre.
Le sous espace propore associé à la valeur propre simple est de dimension 1.
Reste à connaı̂tre la dimension du sous espace propre associé à la valeur propore
1.
z) 
appartient
au sous espace propre associé à 1 si et seulement si
 Or (x, y, 
  
0 a b
x
0
0 0 c  y  = 0. Ce qui équivaut à ay = 0 et z = 0. Si a 6= 0 il reste
0 0 −1
z
0
y = z = 0 et x quelconque et alors le sous espace est de dimension 1 ; si a = 0
il reste z = 0 et x et y quelconques et le sous espace propre est de dimension 2.
Conclusion, la matrice est diagonalisable si et seulement si a = 0.
III. (1+2+1+1+1+2,5+2,5)
1. det(A) = 2 donc A est inversible.
2. Le polynôme caractéristique de A est P (X) = (X − 2)(X − 1)2 = X 3 −
4X 2 + 5X − 2 et Sp(A) = {1, 2}.
3. On en déduit que
1
A3 − 4A2 + 5A − 2I3 = 0 =⇒ A−1 = (A2 − 4A + 5I3 )
2
Un calcul simple donne

A−1

−3 −2 1
1
=  10 6 −2 .
2
−4 −2 2
4. On remarque que (A − I3 )(A − 2I3 ) 6= 0 car le coefficient à la position
(1,1) est −2. Donc le polynôme minimal de A est égal à son polynôme
caractéristique P (X).
5. Comme P (X) a une racine double 1, la matrice A n’est pas diagonalisable.
6. Pour n ≥ 0, la division euclidienne de X n par P (X) s’écrit
X n = Q(X)P (X)+(aX 2 +bX +c),
pour certain Q ∈ C[X] et a, b, c ∈ C.
1 étant une racine double, on a P (1) = P 0 (1) = 0. Comme
nX n−1 = Q0 (X)P (X) + Q(X)P 0 (X) + (2aX + b)
on obtient 1 = a + b + c et n = 2a + b. 2 étant racine simple, P (2) = 0.
Soit 2n = 4a + 2b + c. La résolution du système ci-dessus amène :
a = 2n − n − 1,
b = −2n+1 + 3n + 2,
c = 2n − 2n.
7. Appliquant le théorème de Cayley-Hamilton, on tire
An = (2n − n − 1)A2 + (−2n+1 + 3n + 2)A + (2n − 2n)I3 ,
ce qui peut encore s’écrire :


2n + 2n
n
−2n + 1
An = −2n+1 − 4n + 2 −2n + 1 2n+1 − 2 .
2n
n
1