L`Arganier des mathématiques Devoir libre 4 MP 1

L’Arganier des mathématiques
Devoir libre 4
MP 1
Ahmed HFA
Agrégé de mathématique
5 novembre 2016
Dans tout le problème la lettre K désigne R ou C et E un K-espace vectoriel
I
Première partie
Soient u et v deux endomorphismes de E et soient A = (ai,j )1≤i,j≤n et B = (bi,j )1≤i,j≤n leurs matrices dans une
base B = (e1 , . . . , en ) de E .On définit deux endomorphismes de L(E) par :
∀f ∈ L(E) , Gu (f ) = uof et Dv (f ) = f ov
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Etude des endomorphismes Gu , Dv et Gu + Dv
Dans toute cette sous partie , on prend K = C .Pour simplifier , on note Θu,v = Gu + Dv : f 7−→ uof + f ov
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a. Montrer que , pour tout R ∈ C[X] , R(Gu ) = GR(u)
b. En déduire que R(u) = 0 si, et seulement si R(Gu ) = 0
c. Montrer que u est diagonalisable si, et seulement si Gu est diagonalisable
2 Montrer d’une façon analogue que v est diagonalisable si, et seulemsnt si Dv est diagonalisabkle
3 Dans cette question on suppose que u et v sont diagonalisables
a. Monter que Gu oDv = Dv oGu
b. Montrer que tout sous espace propre de Gu est stable par Dv
c. Montrer qu’il existe une base de L(E) formée des vecteurs propres communs à Gu et Dv
d. En déduire que Θu,v est diagonalisable
4 On suppose dans cette question que u est diagonalisable
a. Montrer que v ∈ Θu,−u si, et seulement si tout sous espace propre de u est stable par v
b. En déduire que la dimension de ker(Θu,−u ) est égale à la somme des carrées des dimensions des sous
espace propres de u
c. On suppose que u admet n valeurs propres λ1 , . . . , λn distinctes deux à deux .Pour v ∈ ker(Θu,−u ) , montrer
que
i. Pour tout j ∈ [[1, n]] et pour tout vecteur propre xj de u associé à λj , il existe µj ∈ C , v(xj ) = µj .xj .En
déduire que v est diagonalisable
ii. Il existe R ∈ C[X] tel que v = R(u) .On pourra utiliser les polynômes d’interpolation de Lagrange associés
à (λ1 , . . . , λn )
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Cas ou dim E = 2
On reprend le cas K = R ou C et on suppose que dim E = 2 .Soit u u endomorphisme de E qui n’est pas une
homothétie .On se propose d’étudier la diagonalisabilité de u et Θu,−u selon K = R ou C
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a. Montrer qu’il existe ε1 ∈ E tel que U = (ε1 ) , u(ε1 )) soit une famille libre de E .On notera ε2 = u(ε1 )
b. En déduire que ker(Θu,−u ) = V ect(ide , u)
2 Pour tout (i, j) ∈ [[1, n]]2 , on définit l’endomorphisme de E noté fi,j par : ∀k ∈ [[1, 2]] , fi,j (εk ) = δj,k εi
.Montrer que la famille F = (f11 , f12 , f21 , f22 ) est une base de L(E)
3
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a. Montrer que la matrice de u dans la base U est de la forme
0 γ
1 δ
!
b. Déterminer la matrice de Θu,−u dans la base F en fonction de γ et de δ
c. En déduire que tr(Θu,−u ) = 0
4 Montrer que le polynôme caractéristique de Θu,−u est de la forme χΘu,−u = X 2 (X 2 + β) avec β ∈ K
5 Si β = 0 , l’endomorphisme Θu,−u est -il diagonalisable ?
6 On suppose que β , 0 .Etudier la diagonlisabilté de Θu,−u selon K = R ou C
7 On suppose que Θu,−u est diagonalisable
a. Vérifier que Sp Θu,−u = {0, λ, −λ} ou λ est un scalaire non nul .Dans la suite de cette question ω1 (resp ω2 )
désigne un vecteur propre de Θu,−u associé à la valeur propre λ (resp −λ)
b. Vérifier que , pour tout t ∈ K , ω1 o (u − tidE ) = (u − (t + λ).idE ) oω1
ii. Montrer que rg(ω1 ) = 1 tr(ω1 ) = 0 et ω12 = 0
Remarquons qu’on a les mêmes résultats pour ω2
c.
i. Montrer que (ε1 , ω1 (ε1 )) est une base de E
ii. Vérifier que la matrice de u dans une telle base est triangulaire inférieure
)
(
tr(u) − λ tr(u) + λ
,
.Que peut-on alors dire de u ?
iii. En déduire que Sp(u) =
2
2
d.
i. Montrer que ω1 oω2 (ε1 ) , 0 et ω2 oω1 (ε1 ) , 0
ii. Montrer que E = ker(ω1 ) ⊕ ker(ω2 )
iii. En déduire une base de E formée par des vecteurs propres de u
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