Diagonalisabilité des polynômes en un endomorphisme

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 juillet 2014
Diagonalisabilité
endomorphisme
des
polynômes
Enoncés
en
1
un
Exercice 1 [ 00859 ] [correction]
Soient P ∈ K [X] et u un endomorphisme d’un K-espace vectoriel E de dimension
finie.
a) On suppose que u est diagonalisable, montrer que P (u) l’est aussi.
b) Que dire de la réciproque ?
Exercice 2 [ 00860 ] [correction]
Soit f un endomorphisme d’un C-espace vectoriel E de dimension finie.
a) On suppose que f est diagonalisable. Montrer que f 2 est diagonalisable et
ker f = ker f 2 .
On étudie désormais la propriété inverse.
b) Par un exemple, montrer que si f 2 est diagonalisable, f n’est pas
nécessairement diagonalisable.
c) Montrer que si f 2 est diagonalisable et si ker f = ker f 2 alors f est
diagonalisable.
Exercice 3 [ 00861 ] [correction]
Soient E un C-espace vectoriel de dimension finie n ∈ N? et u ∈ L(E).
a) Enoncer un critère de diagonalisabilité en terme de polynôme annulateur.
b) On suppose u ∈ GL(E). Montrer que u est diagonalisable si, et seulement si, u2
l’est.
c) Généralisation : Soit P ∈ C [X]. On suppose P 0 (u) ∈ GL(E)
Montrer que u est diagonalisable si, et seulement si, P (u) l’est.
Exercice 4 [ 00862 ] [correction]
Soient E un C-espace vectoriel de dimension finie et u un endomorphisme de E.
Soit P un polynôme complexe, on suppose que P (u) est diagonalisable et que la
valeur prise par P sur toute racine complexe de P 0 n’est pas valeur propre de
l’endomorphisme P (u).
Montrer que u est diagonalisable.
Exercice 5 [ 02524 ] [correction]
Soient A, B ∈ GLn (C) telles que B = Ap .
Montrer que A est diagonalisable si, et seulement si, B l’est.
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Corrections
Corrections
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En reprenant les notations ci-dessus, et on considérant le polynôme
Exercice 1 : [énoncé]
a) Une base de vecteur propre de u est aussi une base de vecteur propre de P (u).
b) La réciproque n’est pas vraie en toute généralité comme le montre le cas d’un
polynôme constant.
En revanche, on peut montrer que la réciproque est vraie si deg P = 1.
Q=
p
Y
(X − δi )(X + δi )
i=1
on a
f 2 Q(f ) = P (f 2 ) = 0
Ainsi
ImQ(f ) ⊂ ker f 2
Exercice 2 : [énoncé]
a) Une base diagonalisant f diagonalise aussi f 2 et permet d’affirmer
rgf = rgf 2
Sachant ker f ⊂ ker f 2 , on obtient ker f = ker f 2 par égalité des dimensions.
b) Posons
0 1
A=
0 0
Un endomorphisme représenté par A n’est pas diagonalisable alors que son carré
est nul et donc diagonalisable.
c) Supposons f diagonalise et ker f = ker f 2 . Soit P le polynôme minimal de f 2 .
Celui-ci est scindé à racines simples car f 2 est diagonalisable.
Cas 0 n’est pas racine de P .
On peut écrire
p
Y
P =
(X − λi ) avec ∀1 6 i 6 n, λi 6= 0
i=1
Pour chaque λi , posons δi et −δi les deux solutions complexes de l’équation
z 2 = λi
Considérons ensuite
Q=
p
Y
(X − δi )(X + δi )
i=1
Le polynôme Q est scindé à racines simples et Q(f ) = P (f 2 ) = 0.
On en déduit que f est diagonalisable.
Cas 0 est racine de P .
On peut écrire
p
Y
P =X
(X − λi ) avec ∀1 6 i 6 n, λi 6= 0
i=1
or ker f 2 = ker f donc
f Q(f ) = 0
Ainsi f annule le polynôme scindé à racines simples
R=X
p
Y
(X − δi )(X + δi )
i=1
On en déduit à nouveau f diagonalisable.
Exercice 3 : [énoncé]
a) u est diagonalisable si, et seulement si, u annule un polynôme scindé à racines
simples.
ou encore :
u est diagonalisable si, et seulement si, le polynôme minimal de u est scindé à
racines simples.
b) Si u est diagonalisable, il est clair que u2 l’est aussi.
Inversement, si u2 est diagonalisable alors son polynôme annulateur est scindé à
racines simples : (X − λ1 )...(X − λp ).
Puisque u ∈ GL(E) : ∀1 6 i 6 p, λi 6= 0 car 0 n’est pas valeur propre de u.
Notons αi et βi les deux solutions de l’équation z 2 = λi .
Puisque (u2 − λ1 Id) ◦ . . . ◦ (u2 − λp Id) = 0 on a
(u − α1 Id) ◦ (u − β1 Id) ◦ . . . ◦ (u − αp Id) ◦ (u − βp Id) = 0.
Ainsi u annule un polynôme scindé à racines simples. Par suite u est
diagonalisable.
c) Si u est diagonalisable alors P (u) l’est aussi.
Inversement, si P (u) est diagonalisable alors son polynôme minimal est scindé à
racines simples (X − λ1 ) . . . (X − λp ) où les λi sont les valeurs propres de P (u).
Le polynôme (P (X) − λ1 ) . . . (P (X) − λp ) est alors annulateur de u.
Les facteurs P (X) − λi sont sans racines communes.
Le polynôme minimal M de u divise (P (X) − λ1 ) . . . (P (X) − λp ).
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Corrections
Si ω est racine au moins double de M alors ω est racine au moins double de l’un
des facteurs P (X) − λi donc racine de P 0 .
Or ω est aussi valeur propre de u donc P 0 (ω) = 0 est valeur propre de P 0 (u).
Cependant P 0 (u) ∈ GL(E), c’est donc impossible.
Par suite les racines de M sont simples et u est donc diagonalisable.
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est annulateur de A. Or ce dernier est scindé à racines simples car
- les facteurs X p − λk et X p − λ` (avec k 6= `) ont des racines deux à deux
distinctes ;
- les racines de X p − λk sont toutes simples (car λk 6= 0).
On en déduit que A est diagonalisable.
Exercice 4 : [énoncé]
Soient λ1 , . . . , λn les valeurs propres deux à deux distinctes de P (u).
Posons
n
Y
Q=
(X − λk )
k=1
Q est un polynôme annulateur de P (u) donc
n
Y
(P (u) − λk IdE ) = 0̃
k=1
Posons Qk = P − λk . Le polynôme
n
Q
Qk est annulateur de u et les racines d’un
k=1
polynôme Qk sont distinctes de celles d’un polynôme Q` avec k 6= ` car λk 6= λ` .
De plus si α est racine multiple de Qk alors P (α) = λk et Q0k (α) = P 0 (α) = 0 ce
qui est exclu par hypothèse.
n
Q
Par conséquent le polynôme
Qk est scindé simple donc u est diagonalisable.
k=1
Exercice 5 : [énoncé]
Si A est diagonalisable, on peut écrire A = P DP −1 avec P inversible et D
diagonale. On a alors B = Ap = P −1 Dp P avec Dp diagonale et donc B est
diagonalisable.
Inversement, si B est diagonalisable alors il existe un polynôme annulateur de B
scindé à racines simple de la forme
m
Y
(X − λk )
k=1
De plus, puisque B est inversible, on peut supposer les λk tous non nuls.
Sachant B = Ap , le polynôme
m
Y
(X p − λk )
k=1
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