Diagonalisation

Filière E
Denis Pasquignon
Diagonalisation
Résumé du cours :
1. Sous-espaces stables
Soit f un endomorphisme de E, un sev F de E est stable par f si f (F ) ⊂
F.
On peut considérer la restriction de f à F qui est un endomorphisme de
F.
On considère une famille de sev (Ei ) supplémentaires de E cad
E = E1 ⊕ · · · ⊕ Ep .
On dit que f stabilise les sev Ei si pour tout i Ei est stable par f .
Si de plus E est de dimension finie, il existe une base de E dans laquelle
la matrice de F est une matrice diagonale de matrice.
2. Valeurs propres et vecteurs propres
Eléments propres d’un endomorphisme
Soit E un espace vectoriel sur K et f ∈ L(E). Le scalaire λ ∈ K est une
valeur propre de f s’il existe un vecteur u non nul de E tel que f (u) = λu.
L’ensemble des valeurs propres est le spectre de f . Tout vecteur u non nul
tel que f (u) = λu est appelé vecteur propre associé à la valeur propre λ.
On appelle sous-espace propre associé à la valeur propre λ le sous-espace
vectoriel Eλ de E défini par Eλ = Ker(f − λIdE ).
si E est de dimension finie
0 est valeur propre de f ⇐⇒ f n’est pas bijectif.
famille libre de vecteurs propres Soit f ∈ L(E), et soient λ1 , · · · , λp
p valeurs propres distinctes de f . Alors toute famille (u1 , · · · , up ) de p
vecteurs propres respectivement associés à λ1 , · · · , λp est une famille libre
de E.
nombre de valeurs propres Soit f ∈ L(E), et dim(E) = n. Le nombre
de valeurs propres distinctes est inférieur ou égal à n.
Somme de sous-espaces propres Soit f ∈ L(E), si f admet p valeurs
propres distinctes λ1 , · · · , λp , alors les sous espaces propres Eλ1 , · · · , Eλp
sont en somme directe.
Eléments propres d’une matrice
1
3. Diagonalisation
Soit E un espace vectoriel sur K de dimension finie et f ∈ L(E). f est dit
diagonalisable s’il existe une base B de E telle que la matrice de f dans
la base B est diagonale.
Soit E un espace vectoriel sur K de dimension finie et soit f ∈ L(E), les
propositions suivantes sont équivalentes:
(a) f est diagonalisable,
(b) il existe une base B de E formée de vecteurs propres de f ,
(c) E est somme directe des sous-espaces propres de f ,
(d) La somme des dimensions des sous-espaces propres de f est égale à
la dimension de E.
Condition suffisante de diagonalisation Soit E un espace vectoriel
sur K de dimension finie n et soit f ∈ L(E), si f admet n valeurs propres
distinctes alors f est diagonalisable.
Projecteur Tout projecteur p de E de dimension finie est diagonalisable.
Diagonalisation d’une matrice carrée
Une matrice carrée est dite diagonalisable si elle est semblable à une matrice diagonale c’est-à-dire il existe une matrice P inversible et une matrice
diagonale D telle que
D = P −1 AP.
Soit A une matrice carrée d’ordre n, si A admet une unique valeur propre
λ alors A est diagonalisable si et seulement si A = λIn .
Soit A une matrice carrée d’ordre n, si A est une matrice triangulaire
dont tous les coefficients sur la diagonale sont distincts alors A est diagonalisable.
4. Polynômes annulateurs
Soit P ∈ K[X]. Soit f un endomorphisme de E, P est un polynômes
annulateur de f si P (f ) = 0.
Soit A une matrice carrée d’ordre n, P est un polynômes annulateur de
A si P (A) = 0.
Soit f un endomorphisme de E, λ une valeur propre et x un vecteur propre
associé à λ:
pour tout n entier naturel, λn une valeur propre de f n et x un vecteur
propre associé à λn , P (λ) est une valeur propre de P (f ) et x vecteur
associé à P (λ),
si f est bijective, λ1 est une valeur propre de f −1 et x un vecteur propre
associé à λ1 . Si P est annulateur de f (resp. de A)les seules valeurs
propres possibles de f (resp. A) sont les racines de P .
2
Exercice 1 Ces matrices sont-elles diagonalisables ?


1 3 4
1 1
M0 =
, M1 =  0 2 5  ,
0 1
0 0 1

1/3 1/3
M2 =  2/3 1/2
0
1/6

−1
0
 0

1  , M3 = 
0
0
0

0
−2
1
0
0
1
−2
0


0


0 
 , M4 = 


0

−1
Exercice 2 Soient les matrices



0 1 0
1
A =  0 0 1  et B =  0
1 −3 3
0
1
1
0
1
0
0
0
0
−1
3
0
0
0
0
0
1
−1
8

0
1 .
1
Montrer que A n’est pas diagonalisable et que A et B sont semblables.
Exercice 3 (Oral HEC) Soit t réel et la matrice


t
1
t−1
0
1 
A(t) =  1
1 t + 1 −t
.
1. Déterminer pour quelles valeurs de t, la matrice A(t) est inversible.
2. Montrer que si t 6= −1, la matrice A(t) est diagonalisable.
3. Si t = −1, A est-elle diagonalisable ? En utilisant les vecteurs V1 =
(−1, 1, 1) et V2 = (0, 1, 1), montrer que A(−1) est semblable à


0 a b
B= 0 0 1 
0 0 0
.
Exercice 4 Soit la matrice



An = 


1
2
3
···
n
2
0
0
···
0
3
0
0
···
0
···
···
···
···
···
n
0
0
0
0






1. Montrer que E = {X ∈ Rn An X = 0} est un sous-espace vectoriel de
Rn .
3

0 0
0 0 

0 0 

2 0 
5 3
2. Déterminer la dimension de E et une base de E.
3. Diagonaliser An : on donnera les valeurs propres et sous espaces propres
associés.
Exercice 5 (HEC 94) Soit E un espace vectoriel et g un endomorphisme de E
vérifiant : g ◦ g − 3g + 2Id = 0.
1. Montrer que g est inversible et donner son inverse.
2. Montrer que : ∀n ∈ N , il existe (an , bn ) ∈ R2 tel que g n = an Id + bn f où
f = g − Id. Déterminer les suites (an ) et (bn ).
3. (a) Quelles sont les valeurs propres éventuelles de g ?
(b) Quelles sont les valeurs propres de g ?
4. En remarquant que : (g − Id) − (g − 2Id) = Id, montrer que g est diagonalisable.
Exercice 6
1. Montrer que toute matrice A de Mn (R) vérifiant A2 = 4In
est diagonalisable.
2. Soit A de Mn (R) vérifiant A2 (A − In) = 0 et A(A − In) 6= 0. Quelles
sont ses valeurs propres ? Montrer que A n’est pas diagonalisable.
Exercice 7
1. Montrer que la matrice

0 1
A= 0 0
1 0

0
1 
0
est diagonalisable dans Mn (C) mais ne l’est pas dans Mn (R).
2. Montrer que toute matrice A de Mn (C) vérifiant A3 = In est diagonalisable. Le résultat reste-t-il valable pour A ∈ Mn (R) ?
4
Exercice 8 On donne la matrice

0
 0

B=
 ···
 0
c
···
···
···
···
···
··· 0
··· 0
··· ···
··· 0
··· c
b
b
···
b
1






où b et c sont deux réels.
Diagonaliser la matrice B.
Exercice 9 (HEC 98) Soit a = (a1 , a2 , · · · , an ) ∈ C n et la matrice


a1 a2 · · · an
 a2 0 · · · 0 

A=
 ··· 0 ··· 0 .
an 0 · · · 0
On note f l’endomorphisme de C n représenté par A dans la base canonique
B = (e1 , · · · , en ). On appelle F le sous-espace vectoriel engendré par a et e1 .
1. Quelle est la dimension de F ?
2. Discuter suivant a le rang de A et dans chaque cas, donner une base de
Imf .
3. On suppose que dimF = 2.
(a) Montrer que F est stable par f .
(b) Donner une matrice représentant la restriction de f à F .
4. Discuter suivant a le caractère diagonalisable de f .
5. Etudier Kerf ∩ Imf .
6. Comment pourrait-on calculer Ap pour p ∈ N ?
Exercice 10 Pour quelles valeurs du paramètre a

6
2
2
3
A(a) = 
a2 − 7a a − 7
réel, la matrice réelle

0
0 
a
est-elle diagonalisable ? Calculer An (a) pour n ∈ N .
Exercice 11 (Oral HEC 2000) Dans l’exercice n désigne un entier naturel non
nul, a et b deux réels, E un espace vectoriel de dimension n, u un endomorphisme
de E vérifiant :
(u − aId) ◦ (u − bId) = 0.
5
1. (a) Que peut-on dire des valeurs propres de u ?
(b) En les justifiant, donner des relations entre Ker(u − aId), Im(u −
aId), Ker(u − bId) et Im(u − bId).
(c) Montrer que : E = Ker(u − aId) ⊕ Im(u − aId).
(d) L’endomorphisme u est-il diagonalisable ?
2. Soit A = {M ∈ Mn (R) M 2 − 4M + 3I = 0}.
(a) Donner deux exemples de matrices dans A.
(b) Une matrice de A est-elle diagonalisable ?
(c) L’ensemble A est-il fini ?
(d) Donner la forme des matrices symétriques de A.
(e) Trouver une matrice M de A telle que t M M = I.
(f) Montrer que si M appartient à A , alors pour tout k ∈ N , M k s’écrit
comme combinaison linéaire de M et de I et trouver les coefficients.
Exercice 12 (HEC 95) Soient E un espace vectoriel de dimension finie, f et g
deux automorphismes de E.
1. (a) Montrer que 0 n’est pas valeur propre de f ◦ g.
(b) Montrer que : λ valeur propre de f ◦ g ⇐⇒ λ valeur propre de g ◦ f .
2. Soit Eλ le sous-espace propre associé à la valeur propre λ de f ◦ g et Fλ
le sous-espace propre associé à la valeur propre λ de g ◦ f .
(a) Montrer que f (Fλ ) est inclus dans Eλ et que g(Eλ ) est inclus dans
Fλ .
(b) En déduire que Fλ et Eλ sont de même dimension.
(c) Montrer que : f ◦ g diagonalisable ⇐⇒ g ◦ f diagonalisable.
3. Application : On donne les

1
M = 0
0
matrices


2 0
1
−1 0  N =  1
0 2
2
0
1
2

0
0 
1
Déterminer les vecteurs propres et les valeurs propres de M et N . Les
matrices M N et N M sont-elles diagonalisables ?
4. Déterminer deux endomorphismes tels que f et g soient diagonalisables et
tels que f ◦ g ne soit pas diagonalisable.
Exercice 13 (Oral HEC 89) Soit

3
A= 2
1
−1
0
0
6

−2
−2 
−1
1. Déterminer les valeurs propres et vecteurs propres de A.
2. Montrer que le sous espace vectoriel E = {(x, y, z) ∈ R3 y − 2z = 0} est
stable par A.
3. Montrer que A est semblable à

1
B= 1
0
0
1
0

0
0 
0
Exercice 14 Soit f : Rn → Rn telle que f n = 0 et f n−1 6= 0. Montrer qu’il
existe x ∈ Rn tel que le système (x, f (x), · · · , f n1 (x)) forme une base de Rn .
Ecrire la matrice A de f dans cette base. A est-elle diagonalisable ? Que vaut
An ? Montrer que A − In est inversible et calculer son inverse.
Exercice 15 (Oral HEC 92)

1
R= 1
1
On donne les matrice



1 1
a b c
j j2  M =  c a b 
j2 j
b c a
où a, b, c sont trois complexes.
1. Montrer que la matrice R est inversible et calculer son inverse.
2. Calculer le produit M R. En déduire que la matrice R−1 M R est diagonale.
3. Montrer qu’il existe trois suites an , bn , cn

an bn
M n =  cn an
bn cn
telles que ∀n ∈ N

cn
bn  .
an
Exercice 16 Les quatre questions sont totalement indépendantes
1. Soit A ∈ Mn (C) inversible. Déterminer les valeurs propres de A−1 en
fonction des valeurs propres de A.
2. La somme de deux matrices diagonalisables est-elle diagonalisable ?
3. On se place dans M2 (R). Existe-t-il des plans ne contenant que des matrices diagonalisables ? Existe-t-il des plans ne contenant que des matrices
non diagonalisables ?
4. On donne les matrices

0
A= 1
0
0
0
1


4
2 1
−8  B =  0 0
5
0 1

1
−2  .
3
2 est-elle valeur propre deA ? Les matrices A et B sont-elles semblables?
7
Exercice 17

0
A= 0
0
1. On donne les matrices


−1 1
1 −1
−1 3  B =  3 5
0 3
4 4
:


2
1
3 C =  1
5
0
1
1
0


0
0
0 D =  1
3
0
Ces matrices sont-elles inversibles ? diagonalisables ?
2. Soit n un entier naturel non nul et M une matrice de Mn (R). Montrer
que pour tout p entier non nul :
(a) si M est inversible, alors M p l’est aussi.
(b) si M est diagonalisable, alors M p l’est aussi.
(c) si M n’est pas inversible, alors M p ne l’est pas non plus.
3. (a) Existe-t-il un entier p tel que : Ap = B ?
(b) Existe-t-il un entier p tel que : Ap = C ?
(c) Existe-t-il un entier p tel que : Ap = D ?
4. On suppose que M n’est pas diagonalisable, M p peut-elle être diagonalisable ?
Exercice 18 (ESSEC 96) Pour tout nombre
réelle A(m) de Mn (R) :

−m
1
0
 1
−m
1

 0
·
·
·
·
··
A(m) = 
 ··· ··· ···

 ··· ···
1
0
···
0
réel m, on considère la matrice
···
···
···
···
−m
1
0
0
0
0
1
−m








C’est-à-dire : ∀i ∈ {1, · · · , n}, aii = −m, ∀i ∈ {1, · · · , n − 1}, aii+1 = 1,
∀i ∈ {2, · · · , n}, aii−1 = 1, les autres coefficients sont nuls.
1. On suppose qu’il existe un vecteur X non nul de Rn tel que A(m)X = 0.
On note i le plus petit indice appartenant à {1, · · · , n} tel que |xi | =
max(|x1 |, |x2 |, · · · , |xn |).
(a) Prouver que si i = 1, alors |m| ≤ 1.
(b) Donner un résultat analogue si i = n.
(c) Poruver que si 2 ≤ i ≤ n − 1, alors |m| < 2.
(d) En déduire que si m ≥ 2, la matrice A(m) est inversible.
2. On suppose que m appartient à l’intervalle ] − 2, 2[. Il existe donc un
unique θ appartenant à ]0, π[ tel que : m = 2cosθ, on note alors S le
vecteur de composantes (sinθ, sin2θ, · · · , sinnθ).
8
0
0
1

1
0 .
0
(a) Calculer les composantes du vecteur A(m)S en utilisant la formule
suivante : 2sinacosb = sin(a + b)sin(a − b).
(b) En déduire n nombres réels θ1 , · · · , θn avec 0 < θ1 < θ2 < · · · < θn <
π tels que la matrice A(2cosθk ) ne soit pas inversible.
(c) En déduire les valeurs propres de A(0).
(d) Montrer que les uniques valeurs de m pour lesquelles A(m) n’est pas
inversible sont : m1 = 2cosθ1 , m2 = 2cosθ2 , · · · , mn = 2cosθn .
3. La matrice A(m) est-elle diagonalisable ?
Exercice 19 (ESSEC) Soit φ l’application de R[X] dans R[X] définie par P →
φ(P ) avec : φ(P )(X) = (a + bX)P (X) + X(1 − X)P 0 (X), a et b sont deux
paramètres entiers strictement positifs.
1. Montrer que φ est un endomorphisme de R[X] et qu’il existe r unique tel
que Rr [X] soit stable par φ. On note φr l’endomorphisme de Rr [X] induit
par φ. Ecrire la matrice de φr relativement à la base canonique de Rr [X].
2. On suppose que b = 2. Déterminer les valeurs propres et les vecteurs
propres de φr .
3. On revient au cas général b ≥ 1.
(a) Montrer que si A est un polynôme propre de φ, il est nécessairement
de degré b.
(b) Montrer que si A(X) est un polynôme propre de φ, alors A(1 − X)
est aussi un polynôme propre de φ.
4. Montrer que les polynômes propres de φ sont, à une constante multiplicative près, les polynômes Ak tels que : Ak (X) = X k (1 − X)b−k avec
k = 0, 1, · · · , b.
Exercice 20 (Oral HEC 97) Soit
X
E = {(un ) ∀k ∈ N,
nk un absolument convergente }.
1. Montrer que E est un sous-espace vectoriel de S ensemble des suites réelles.
2. Soit φ l’application de E dans S qui à la suite (un ) fait correspondre la
suite (vn ) définie par ∀n ∈ N , vn = nun+1 − un .
(a) Montrer que φ est un automorphisme de E.
(b) Montrer que ∀λ ∈ R, λ est une valeur propre de φ. Quel est le
sous-espace propre associé ?
Exercice 21 (Oral HEC 94) Soit la matrice A de M3 (R),


2 0
4
A =  3 −4 12 
1 −2 5
9
1. Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres de A en utilisant
la méthode du pivot de Gauss. En déduire qu’il existe une matrice P
inversible telle que A = P DP −1 .
2. Soit M ∈ M3 (R) telle que AM = M A.
(a) Montrer que tout vecteur propre de A est vecteur propre de M .
(b) Montrer que la matrice P −1 M P est diagonale.
(c) Déterminer l’ensemble des matrices qui commutent avec A.
(d) Résoudre dans M3 (R) l’équation M 2 = A.
Exercice 22 (Oral HEC 92) Soit (e1 , e2 , · · · , en ) la base canonique de Rn et
p ∈ L(Rn ) défini par : p(e1 ) = en et pour tout j avec 2 ≤ j ≤ n, p(ej ) = ej−1 .
1. Donner la matrice P de p dans la base canonique de Rn .
2. Calculer P k pour 0 ≤ k ≤ n − 1.
3. Calculer P n . Que peut-on en déduire pour les valeurs propres de p ?
4. Soit r > n. Calculer P r .
5. Soit A = V ect(P s , s ∈ N ). Montrer que A admet pour base la famille
(P k )0≤k≤n−1 .
Exercice 23 (Oral HEC 95) Soit E un espace vectoriel de dimension finie. Soit
u un endomorphisme de E tel que tout élément x de E est vecteur propre de u.
On note λ(x) la valeur propre associée à x.
1. (a) Soit x et xo deux éléments non nuls de E. Montrer que : λ(x) =
λ(xo ) = λ(x + xo ). On envisagera le cas (x, xo ) libre et le cas (x, xo )
lié.
(b) En déduire que u est une homothétie.
2. On suppose que u n’est pas une homothétie. Montrer qu’il existe un
vecteur x non nul de E tel que le système (x, u(x)) soit libre.
3. On suppose que E est de dimension 2 et que u nest pas une homothétie.
(a) Montrer qu’il existe une base B de E dans laquelle u est représenté
par
0 α
M=
1 β
(b) Existe-t-il un endomorphisme v de E tel que u et v ne commutent
pas.
4. Montrer l’équivalence suivante : u commute avec tout endomorphisme
⇐⇒ u est une homothétie.
10
Exercice 24 (HEC 98) Soit n réels a1 , · · · , an
non nuls. On donne les matrices

1 + a1
1
··· ···
1

1
1
+
a
1
·
·
·
1
2
A=

1
1
··· ···
1
1
1
· · · 1 1 + an
vérifiant : a1 < a2 < · · · < an et


1
 0

B = 
 0

0
1
···
A
1




A ∈ Mn (R) et si A = (αij ), on a : αij = 1 si i 6= j et pour i variant de 1
à n : αii = 1 + ai , B ∈ Mn (R), la première ligne de B est constituée de 1, la
première colonne de 0 sauf le premier terme : b11 = 1.
1. Montrer que rang(B) = 1 + rang(A).
2. Montrer qu’il existe un isomorphisme entre le noyau de B et celui de A.
3. P
En utilisant B, montrer que A est inversible si et seulement si : 1 +
n
1
k=1 ak 6= 0.
4. Montrer que A a n valeurs propres distinctes µ1 , · · · , µn telles que : a1 <
µ1 < a2 < · · · < an < µn .
Exercice 25 (HEC 98) On se place dans E espace vectoriel de dimension finie,
soit p un projecteur de E.
1. Prouver que : E = Kerp ⊕ Imp.
2. On définit sur L(E) l’application φ par : ∀f ∈ L(E), φ(f ) = p ◦ f + f ◦ p.
(a) Montrer que φ est un endomorphisme.
(b) Donner la dimension d’une matrice représentant φ.
3. Déterminer φ2 , puis φ3 . Déterminer un polynôme annulateur de φ de
degré 3.
4. Soit f élément de Kerφ.
(a) Montrer que Kerp est stable par f .
(b) Montrer que l’image par f d’un élément de Imp est nulle.
(c) En déduire la forme d’une matrice de f dans une base de vecteurs
propres pour p.
(d) En déduire la dimension de Kerφ.
5. En procédant de la même manière, déterminer la dimension des sousespaces : F1 = {f ∈ L(E) φ(f ) = f } et F2 = {f ∈ L(E) φ(f ) = 2f }. En
déduire que φ est diagonalisable.
Exercice 26 (HEC 99)
11
1. On donne la matrice

1/2
 1/4
M =
 0
0
1/4 0
1/2 1/4
1/4 1/2
0 1/4

0
0 

1/4 
1/2
Soit λ une valeur propre éventuelle de M . On ne demande pas de calculer
les valeurs propres de M .
(a) La valeur propre λ peut-elle être réelle ?
(b) Soit X =t (x1 , x2 , x3 , x4 ) un vecteur propre de M associé à λ et j tel
que : xj = M ax1≤i≤4 |xi |. Montrer que si j = 1, alors |λ| ≤ 1. On
suppose que |λ| = 1, montrer que dans ce cas, j > 1 et |xj−1 | = |xj |
. En déduire que l’hypothèse sur λ est absurde.
2. On considère 9 sièges à 2 places, répartis régulièrement sur un cercle formant ainsi les sommets d’un polygone régulier à 9 sommets. Deux jeunes
oursons se déplacent d’un siège à l’autre au fil du temps. De manière plus
précise, à chaque minute, chaque ourson quitte son siège et va occuper au
hasard l’un des 2 sièges voisins indépendamment de ce que fait son compagnon de jeu. Ainsi, ils peuvent se retrouver sur le même siège. A chaque
minute, les oursons sont séparés par un nombre pair (éventuellement nul)
de côtés du polygone. Certes, ils sont également séparés par un nombre
impair de côtés, mais nous préférons les repérer l’un par rapport à l’autre
par le nombre pair de côtés qui les séparent. Pour i = 1, 2, 3, 4, nous
noterons Xi la variable aléatoire égale au nombre de minutes écoulées entre le moment où les deux oursons sont séparés par 2i côtés et l’instant
où, pour la première fois, les deux oursons se trouvent assis sur un même
siège. On admettra que, quel que soit le nombre de côtés les séparant, les
deux oursons finiront tôt ou tard par s’asseoir ensemble.
Pour tout entier k, on pose : Uk =t (P (X1 = k), P (X2 = k), P (X3 =
k), P (X4 = k)).
(a) Déterminer une matrice A telle que : ∀k ∈ N , Uk+1 = AUk .
(b) A l’aide de la question 1, montrer que Xi admet une espérance pour
tout i ∈ {1, 2, 3, 4}.
(c) Déterminer un système d’équations satisfaites par les différentes espérances
E(Xi ).
(d) Déterminer E(Xi ).
Exercice 27 (HEC 98) On se place dans R3 muni de sa base canonique B =
(e1 , e2 , e3 ) et d’une base B 0 = (i, j, k) où : i = −e1 − e3 , j = 2e1 + e2 et
k = −e2 + e3 . On donne la matrice


4 −4 −4
M =  0 1 −1 
1 −1 1
12
1. (a) Donner la matrice de passage, notée P , de la base B à la base B 0 .
(b) Calculer la matrice J = P −1 AP .
2. On donne trois suites réelles (un ), (vn )
et (wn ) vérifiant uo = 1, vo = wo =
 un+1 = 4un − 4vn − 4wn + n + 1
vn+1 = vn − wn + 1
0 et la relation de récurrence : ∀n ∈ N

wn+1 = un − vn + wn
Pour tout n ∈ N , on pose :






un
n+1
n
Xn =  vn  Cn =  1  Fn =  n 
wn
0
0
enfin Yn = P −1 Xn − P −1 Fn .
(a) Calculer Yo .
(b) Montrer que : Pour tout n ∈ N , Xn+1 = AXn + Cn et Cn+1 =
AFn + Cn .
(c) Montrer que : Pour tout n ∈ N , Yn+1 = JYn .
(d) En déduire Yn en fonction de n.
(e) Calculer un , vn et wn en fonction de n.
Exercice 28 (Oral HEC 2000) Soit E l’ensemble des matrices carrées réelles
d’ordre n et C l’ensemble des matrices colonnes à n lignes.
1. Soit (X1 , X2 , · · · , Xn ) une base de C, on définit l’application φ de E dans
C n par : ∀M ∈ E, φ(M ) = (M X1 , M X2 , · · · , M Xn ). Montrer que φ est
un isomorphisme.
2. Soit A une matrice diagonalisable et (V1 , V2 , · · · , Vn ) une base de vecteurs
propres de A.
(a) Justifier l’existence et l’unicité de matrice Mij telles que Mij Vk =
δj,k Vi pour tout k de 1 à n où δj,k = 1 si j = k et δj,k = 0 sinon.
(b) Montrer que la famille (Mij )(i,j)∈[[1,n]]×[[1,n]] forment une base de E.
(c) Soit hA l’application de E dans E définie par : ∀M ∈ E, hA (M ) =
AM − M A. Montrer que Mij est un vecteur propre de hA , qu’en
déduit-on pour hA ?
3. Soit (µ1 , · · · , µn ) les valeurs propres de A, on note ni la dimension du
sous-espace propre associé à µi et J = {(i, j) µi = µj }.
(a) Montrer que KerhA = V ect((Mij )j∈J ).
(b) Déterminer la dimension de KerhA en fonction de n.
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Exercice 29 (HEC 91) Soit E l’ensemble des polynômes de degré inférieur ou
égal à 3. Soit φ l’application définie sur E par φ : P → Q avec Q(X) =
6P 0 (0)X 3 + 3P 00 (0)X 2 + 6P (0)X + P (3) (0).
1. Donner la dimension de E.
2. Montrer que l’application φ est linéaire.
3. Choisir une base de E et donner la matrice notée B de φ dans cette base.
4. Calculer B 3 le plus simplement possible. Quelles sont les valeurs propres
de B ? B est-elle diagonalisable ?
Exercice 30 (HEC 90) Soit f l’application définie sur Rn [X] par ∀P ∈ Rn [X],
f (P ) = Q avec : Q(X) = XP (X) − n1 (X 2 − 1)P 0 (X).
1. Montrer que f est un endomorphisme de Rn [X].
2. Calculer les images de 1, X, · · · , X n .
3. Soit P un polynôme propre. Montrer que nécessairement deg(P ) = n.
Montrer que 1 ou -1 sont nécessairement des racines de P . Montrer que
si P (X) = (X − 1)h (X + 1)k R(X) avec R(1) 6= 0 et R(−1) 6= 0, alors
h + k = n. Exprimer λ en fonction de k et n. f est-il diagonalisable ?
Exercice 31 (HEC 91) Soit la matrice
8
A=
2
2
5
1. Trouver une matrice inversible P telle que P −1 AP soit diagonale.
2. Soit B ∈ M2 (R) telle que BA = AB.
(a) Montrer que tout vecteur propre de A est vecteur propre de B.
(b) Montrer que P −1 BP est diagonale.
3. Trouver toutes les matrices M de M2 (R) telles que M 2 = A.
Exercice 32 (HEC 95) Soit E lespace vectoriel
d’ordre 2. On appelle B la base canonique de E,
avec :
1 0
0 1
0
M1 =
M2 =
M3 =
0 0
0 0
1
des matrices carrées réelles
soit B = (M1 , M2 , M3 , M4 )
0
0
M4 =
0
0
0
1
Soit A une matrice donnée de E, on lui associe l’application notée φ(A)
définie sur E par : ∀M ∈ E, φ(A)(M ) = AM − M A.
1. Montrer que φ(A) est un endomorphisme de E.
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2. Soit (α, β) ∈ R2 et la matrice
D=
α
0
0
β
.
(a) Ecrire la matrice de φ(D) dans la base B.
(b) L’endomorphisme φ(D) est-il diagonalisable ?
3. On suppose que la matrice A possède deux valeurs propres distinctes α et
β.
(a) Montrer qu’il existe une matrice inversible P telle que : A = P DP −1
où
α 0
D=
.
0 β
(b) Montrer que les matrices Mi0 définies par : Mi0 = P Mi P −1 pour i
variant de 1 à 4 définissent une base de E.
(c) Montrer que Mi0 est vecteur propre de φ(A).
(d) L’endomorphisme φ(A) est-il diagonalisable ?
Exercice 33 (Oral HEC 97) En est l’ensemble de polynômes de degré inférieur
ou égal à n à coefficients réels. Pour tout k ∈ {0, 1, · · · , n}, on pose Pk (X) = X k .
Soit Φ l’application définie sur En par : ∀P ∈ En , ∀x ∈ R,
Z 1
(Φ(P ))(x) =
tP (x − t)dt.
0
1. Calculer Φ(P0 ), Φ(P1 ), puis Φ(Pk ) pour k ∈ {0, 1, · · · , n}.
2. Montrer que Φ est un endomorphisme de En .
3. Montrer que, pour tout P ∈ En , [Φ(P )]0 = Φ(P 0 ).
4. Soit P un polynôme propre de Φ de degré p, montrer que P 0 , · · · , P (p) sont
aussi des polynômes propres de Φ. Déterminer les valeurs propres de Φ.
Exercice 34 (Oral HEC 2000) Dans l’exercice n désigne un entier naturel non
nul, a et b deux réels, E un espace vectoriel de dimension n, u un endomorphisme
de E vérifiant :
(u − aId) ◦ (u − bId) = 0.
1. (a) Que peut-on dire des valeurs propres de u ?
(b) En les justifiant, donner des relations entre Ker(u − aId), Im(u −
aId), Ker(u − bId) et Im(u − bId).
(c) Montrer que : E = Ker(u − aId) ⊕ Im(u − aId).
(d) L’endomorphisme u est-il diagonalisable ?
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2. Soit A = {M ∈ Mn (R) M 2 − 4M + 3I = 0}.
(a) Donner deux exemples de matrices dans A.
(b) Une matrice de A est-elle diagonalisable ?
(c) L’ensemble A est-il fini ?
(d) Donner la forme des matrices symétriques de A.
(e) Trouver une matrice M de A telle que t M M = I.
(f) Montrer que si M appartient à A , alors pour tout k ∈ N , M k s’écrit
comme combinaison linéaire de M et de I et trouver les coefficients.
Exercice 35 (Oral HEC 93) Soit n ∈ N ∗ , on tire n fois à pile ou face avec une
pièce équilibrée. On appelle pn la probabilité de ne pas avoir plus de deux piles
consécutifs à l’issue des n tirages.
1. Calculer pn pour n = 1, 2, 3.
2. Etablir la relation :
∀n ≥ 4 pn =
1
1
1
pn−1 + pn−2 + pn−3 .
2
4
8
3. Pour n ∈ N ∗ , on pose Xn =t (pn , pn+1 , pn+2 ) . Déterminer une matrice
A telle que : ∀n ∈ N ∗ , Xn+1 = AXn .
4. Trouver un polynôme du troisième degré dont les racines sont les valeurs
propres de A. Montrer que ce polynôme n’admet qu’une racine réelle.
5. Montrer que A est diagonalisable dans M3 (C) et en déduire une méthode
de calcul de pn .
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