D.M. 20 : niveau plus facile

D.M. 20 : niveau
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plus facile ≫
1
1
7
⎛ 3 −6 2 ⎞
8
2
−5 ⎟.
Exercice 1. 1) Soit A = ⎜ 3
3
⎝ 4 −2 1 ⎠
3
3
a) (i) Montrer que A est semblable à la matrice D = diag(2, 3, −1).
⎛ 1 1 ∗⎞
(ii) Expliciter une matrice P de la forme P = ⎜ ∗ ∗ ∗⎟ telle que A = P DP −1 .
⎝ ∗ ∗ 1⎠
(iii) Calculer aussi P −1 .
b) Soit E un K-e.v. et (f, g) ∈ L(E) tels que f ○ g = g ○ f .
(i) Montrer que f (ker g) ⊂ ker g.
(ii) En déduire que si on fixe un λ ∈ K, f (ker(g − λ id)) ⊂ ker(g − λ id).
c) On considère l’ensemble CD des matrices commutant à la matrice D = diag(2, 3, −1) du a).
Autrement dit : M ∈ CD ⇔ M D = DM .
Montrer que CD est l’ensemble des matrices diagonales.
d) En déduire la forme (et la dimension) de l’e.v. CA des matrices dans M3 (R) commutant à la
matrice A du a).
⎛ 2 0 0⎞
2) On considère maintenant une matrice B ∈ M3 (R) dont on sait qu’elle s’écrit B = Q ⎜ 0 2 0⎟ Q−1
⎝ 0 0 3⎠
avec Q ∈ GL3 (R).
Inspiré par ce qui précède montrer que l’ensemble des matrices commutant à B est l’ensemble
⎛a b 0 ⎞
des matrices de la forme Q ⎜ c d 0 ⎟ Q−1 avec (a, b, c, d, e) ∈ R5 .
⎝0 0 e ⎠
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