Exercices d`opérations sur les matrices

Exercices d’opérations sur les matrices
1
Exercice
Calculer A + B, 2A + B et 3A + B +C pour les matrices



3 1 0
5 0
A = 1 2 1  ,
B = 0 1
0 1 −1
2 1
2

2
−3 ,
0

0
C = 1
1
1
0
1

1
1
0
(1)
Exercice
Parmi les matrices suivantes, quelles sont les multiplications de matrices qu’on peut effectuer ? Dans tous ces cas,
donner la taille de matrice produit. Calculer ces produits.
 






1
1 2
3
0 1 2
2 3 0 4
7  , B = 1 2 3 , C = 0 1 2 0 , D = 1 1 1 , E = 1
(2)
A = 5 6
1
9 10 11
2 3 4
1 1 0 1
3
Exercice
On considère les trois matrices

2
A = 5
6
−3
4
−2



7 2
1 0
−5 2
 , C = −1
1 3 , B = 
 3 1
3
−1 7
6 0
2 6
5 7
(3)
1. Calculer AB puis (AB)C.
2. Calculer BC puis A(BC).
3. Que remarque-t-on ? Comment s’appelle la propriété algébrique correspondante ?
4
Exercice
Soit les 3 matrices
1
A=
5
−2
−2 1
0 7
, B=
, C=
−1
1 3
−4 1
(4)
1. Caluler AB + AC et A(B +C).
2. De même, calculer AC + BC et (A + B)C.
3. Conclusion ? Comment s’appelle la propriété algébrique correspondante ?
5
Exercice
On rappelle que deux matrices A et M commutent si et seulement si les produits AM et MA existent et sont égaux.
1. Montrer que si A et M commutent, ce sont nécessairement des matrices carrées et de même taille.
2. Soit
1
A=
1
3
0
x
, M=
−1
z
y
t
(5)
Montrer que la relation AM = MA conduit à un système de 4 équations linéaires pour les 4
inconnues x, y, z,t. En utilisant les méthodes vues en cours sur la résolution des systèmes,
déterminer l’ensemble des matrices M qui commutent avec la matrice A.
1 1
3. Même question avec A =
.
−1 1
2