IUT Belfort-Montbéliard (01/02) Département GTR Mathématiques

IUT Belfort-Montbéliard (01/02)
Département GTR
Mathématiques
Contrôle n◦ 4
Calculette, Formulaire bleu, Polycopiés sont autorisés
TD NON
1. Déterminer le rayon de convergence des séries entières ci-dessous, puis étudier la nature de ces séries aux
bords des intervales de convergence suivantes :
∞ n3 + n + 3
∞
∞ 1
P
P
P
a.
b.
xn
c.
xn
xn
n+1
0
0
0 n!
2. Donner le développement en séries entières des fonctions suivantes :
1
b. f (x) = e−2x
a. f (x) =
1 + x2
3. Calculer l’inverse
des matrices
suivantes : (Aucune restriction sur la méthode)


2 0 0
a. A1 =  0 −5 0 
0 0 7


1 1 1
b. A2 =  1 1 0 
1 0 0
4. Calculer les
 déterminants des
 matrices suivantes :
1
2 −1
1
0 
a. A1 =  4
3 −1
0


a
1 h
2 0 
b. A2 =  b
c −1 0
5. En utilisant la méthode de Gauss résoudre le système suivant :

+ 2z = 1
 x − y
2x + 12y + z = 5

3x − 12y + 8z = 1
6. Soit les matrices
a. Calculer A2 ;


2 1 1
A= 1 2 1 
1 1 2


1 0 0
I= 0 1 0 
0 0 1
b. Montrer qu’il existe deux réels x et y tels que : A2 = xA + yI
1