CCP 2004

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CCP 2004

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013
Enoncés
CCP 2004
Exercice 1 CCP MP [ 02510 ] [correction]
P
P
I) a) Montrer que si |an | ∼ |bn |,
an z n et
bn z n ont le même rayon de
convergence.
b) Donner le rayon de convergence de
X
n 2 n
i n z
(n2 + 1)2n
II) Existe-t-il une valeur de α pour laquelle

−5 + α 3 − α
 −2 + α −α
−5
5
1
b) Déterminer la limite et un équivalent de S en +∞.
c) Développer en série entière
1
S(x) −
x
I) Décomposer en éléments simples
F (x) =

α
α 
−2
est diagonalisable ?
1
(x + 3)(1 − x)
a) Montrer que F est développable en série entière en 0 et donner le rayon de
convergence de cette série.
b) Donner un DL à l’ordre 3 de F au voisinage de 0.
II) Soit u un endomorphisme d’un R-espace vectoriel E de dimension finie tel qu’il
existe deux réels non nuls distincts a et b vérifiant
(u − aId)(u − bId) = 0
I) Soit a ∈ R et n > 2.
a) Montrer que φ(P )(X) = (X − a) (P 0 (X) − P 0 (a)) − 2(P (X) − P (a)) définit un
endomorphisme de Rn [X].
b) A l’aide de la formule de Taylor, déterminer l’image et le noyau de φ.
c) Trouver ses éléments propres. L’endomorphisme est-il diagonalisable ?
II) Résoudre l’équation différentielle y 00 + y 0 + y = x2 + ex .
I) a) Soit h positive et continue sur [a, b]. Montrer que
Z b
h(x)dx = 0
a
implique h = 0.
Rb
b) Montrer que pour f et g continues de [a, b] vers R, a f (t)g(t)dt définit un
produit scalaire.
II) a) Quel est le domaine de définition de
S(x) =
pour a ∈ ]−1, 1[ ?
+∞
X
an
x+n
n=0
Soient
1
1
(u − aId) et q =
(u − bId)
b−a
a−b
a) Calculer p + q, p ◦ p, q ◦ q et q ◦ p.
b) Montrer que E = ker p ⊕ ker q.
c) Trouver les éléments propres de u. L’endomorphisme u est-il diagonalisable ?
p=
I) a) u est un endomorphisme d’un K-espace vectoriel E de dimension finie n et I
désigne l’application identité de E.
Rappelez la définition d’une valeur propre de puis démontrez que :
λ est valeur propre de u ⇔ det(u − λI) = 0
Déduisez-en que u admet au plus n valeurs propres distinctes.
b) Trouvez un endomorphisme de R2 admettant comme valeurs propres 0 et 1.
II) Soit α ∈ C\iZ et f continue sur R à valeurs dans C et 2π-périodique.
Soit y solution de l’équation
y 0 + αy = f
a) Montrer que y est de la forme
Z
y(x) = e−αx y(0) +
x
f (t)eαt dt
0
Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD
Enoncés
b) Montrer que y est 2π-périodique si, et seulement si, y(0) = y(2π) (on pourra
utiliser que z(x) = y(x + 2π) est solution de l’équation différentielle).
c) En déduire qu’il existe une unique fonction φ, 2π-périodique solution de
l’équation différentielle.
d) Montrer que φ admet un développement en série de Fourier et l’exprimer en
fonction des coefficients complexes de f .
I) Soit u un endomorphisme de matrice A dans une base orthonormale d’un
espace euclidien E.
Montrer l’équivalence entre les propriétés suivantes
(i) u est orthogonal, (ii) t AA = In et (iii) A est inversible et A−1 = t A.
II) Etudier la nature de la série de terme général
(−1)n
un = ln 1 + sin
nα
pour α > 0.
I) a) Montrer que la seule valeur propre possible d’une matrice A telle qu’il existe
p ∈ N? vérifiant Ap = 0 est 0.
b) Existe-t-il des matrices symétriques réelles nilpotentes d’ordre p ?
II) Soient
n
1
1 Y
(3k − 2) et vn = 3/4
un = n
3 n!
n
k=1
a) Montrer que pour n assez grand,
vn+1
un+1
>
un
vn
b) En déduire que
P
un diverge. (on pourra utiliser
un
vn )
Exercice 9 CCP MP
I) Soit
2
[ 02518 ]
[correction]
A=
Soit g une fonction Rcontinue sur R et nulle en dehors d’un segment [a, b].
Montrer que lim R fn (x)g(x)dx = g(0).
n→+∞
−1
4
Calculer An pour tout n > 1.
II) Etudier la suite de fonctions (fn ) définie par
fn (x) =
nx2 e−nx
1 − e−x2
I) Soit u un endomorphisme de matrice A dans une base orthonormale d’un
espace euclidien E.
Montrer l’équivalence entre les propriétés suivantes
(i) u est orthogonal, (ii) t AA = In et (iii) A est inversible et A−1 = t A.
II) Soit n ∈ N, n > 2 et f l’application de R dans R définie par f (x) = xn sin
si x 6= 0 et f (0) = 0.
a) Montrer que f est dérivable sur R.
b) f admet-elle un développement limité en 0 ? si oui à quel ordre maximal ?
1
x
I) Résoudre sur ]1, +∞[ l’équation différentielle y 0 − x2x−1 y = 2x.
II) Soit E un espace euclidien et e = (e1 , . . . , en ) une famille de vecteurs unitaires
n
P
2
de E telle que ∀x ∈ E, kxk =
(ek | x)2 . Montrer que la famille e est
k=1
orthogonale puis que E = Vect(e).
P
P
I) a) Montrer que si |an | ∼ |bn |,
an z n et
bn z n ont le même rayon de
convergence.
b) Donner le rayon de convergence de
X
Exercice 8 CCP MP [ 02517 ] [correction] p
I) Etudier la courbe d’équation polaire ρ = 2 cos(2θ).
2n4
x2
II) Pour n ∈ N? et x ∈ R, on pose fn (x) = √nπ 1 − 2n
.
2
1
2
in n2 z n
(n2 + 1)2n
II) Pour A = (ai,j ) ∈ Mn (C) et B = (bi,j ) ∈ Mn (C), on définit A ? B ∈ Mn2 (C)
par


a1,1 B · · · a1,n B


..
..
A?B =

.
.
an,1 B
···
an,n B
Enoncés
a) Montrer que si A, A0 , B, B 0 ∈ Mn (C) alors (A ? B)(A0 ? B 0 ) = (AA0 ) ? (BB 0 ).
b) En déduire que A ? B est inversible si, et seulement si, A et B sont inversibles.
c) Déterminer le spectre de A ? B.
En déduire le polynôme caractéristique, la trace et le déterminant de A ? B.
3
Exercice 16 CCP MP [ 02525 ] [correction] p
I) Etudier la courbe d’équation polaire ρ = 2 cos(2θ).
II) Montrer que f (x) = arctan(1 + x) est développable en série entière au
voisinage de 0 et donner son rayon de convergence. Calculer cette série entière.
I) Résoudre sur ]1, +∞[ l’équation différentielle
y0 −
II) Soit (a1 , . . . , an−1 ) ∈ Cn−1 .
a) Quel est le rang de A ∈ Mn (C)

0
 ..

A= .
 0
a1
x
y = 2x
x2 − 1
définie par
···
···
···
0
..
.
a1
..
.
0
an−1
an−1
0



?

b) Avec la trace, que peut-on dire des valeurs propres ?
c) A est-elle diagonalisable ?
Exercice 14 CCP MP
I) Soient a, b, c ∈ R et
[ 02523 ]
[correction]

0
M = b
b
a
0
−a

c
c 
0
La matrice M est-elle diagonalisable
dans M3 (R) ? dans M3 (C) ?
P
II) Soit une série entière
an z n de rayon de convergence non nul.
a) Montrer qu’il existe un réel r > 0 tel que |an | < 1/rnPà partir d’un certain rang.
an n
b) Quel est le rayon de convergence de la série entière
n! z ?
n
P
c) On note Sn =
ak . Quel est le rayon de convergence de la série entière
k=0
P Sn n
n! z ?
I) f 2π-périodique définie par f (t) = t sur ]−π, π[ et f (−π) = 0. Former le
développement en séries de Fourier de f .
II) Soient A, B ∈ GLn (C) telles que B = Ap .
Montrer que A est diagonalisable si, et seulement si, B l’est.
Corrections
Corrections
Exercice 1 : [énoncé] P
I)
an z n est absolument convergente or |an z n | ∼ |bn z n | donc
Pa) Sin |z| < Ra alors
b n z est absolument
convergente puis |z| 6 Rb . Ainsi Ra 6 Rb puis Ra = Rb .
in n2 1
b) (n2 +1)2n ∼ 2n donc R = 2.
II) Pour α = 0, la matrice est diagonalisable avec −3 valeur propre simple et −2
valeur propre double.
4
b) Par convergence normale sur [1, +∞[, on peut intervertir limites et sommes
infinies pour justifier,
+∞
X
lim S(x) =
0=0
x→+∞
n=0
et
lim xS(x) =
x→+∞
n
P
φ(P )(X) =
n
P
k=3
k=2
(k − 2) P
(k)
k=0
P (k) (a)
(k−1)! (X
(a)
(X
k!
− a)k − 2
n
P
k=1
1
1−a
de sorte que
1
(1 − a)x
c) Pour |x| < 1 ;
S(x) −
k=1
P (k) (a)
(X
k!
an =
n=0
S(x) ∼
Exercice 2 : [énoncé]
I) a) La linéarité est immédiate et sans peine deg(φ(P )) 6 n pour P ∈ Rn [X].
n
n
P
P
P (k) (a)
P (k) (a)
k−1
b) On a P (X) =
(X − a)k , P 0 (X) =
puis
k!
(k−1)! (X − a)
+∞
X
− a)k =
Or
− a)k − 2P 0 (a)(X − a).
P +∞
+∞ X
+∞
X
X
1
an
an
=
=
(−1)m m+1 xm
x n=1 x + n n=1 m=0
n
P +∞
P an
an
(−1)m nm+1
(−1)m nm+1
xm converge et
xm converge. Par le
m=0
P ∈ ker φ ⇔ P 0 (a) = 0 et ∀3 6 k 6 n, P (k) (a) = 0. Ainsi ker φ = Vect(1, (X − a)2 ).
P ∈ Imφ ⇔ P (a) 
= P 00 (a) = 0. Imφ = (X − a)3 Rn−3 [X] + Vect(X − a).
 0 = λP (a)

0
0
.
c) φ(P ) = λP ⇔ −2P (a) = λP (a)


(k)
(k)
(k − 2)P (a) = λP (a) pour k ∈ {2, . . . , n}
Cette équation possède une solution non nulle si, et seulement si, λ = 0, λ = −2
et λ = k − 2 avec k ∈ {2, . . . , n}.
Ainsi Sp(φ) = {−2, 0, 1, . . . , n − 2}.
E−2 (φ) = Vect(X − a), E0 (φ) = ker φ, Ek−2 (φ) = Vect(X − a)k pour
k ∈ {3, . . . , n}.
La somme des dimensions des sous-espaces propres vaut dim Rn [X] :
l’endomorphisme est diagonalisable.
En fait, la base des (X − a)k est base de diagonalisation
de
φ.
l’endomorphisme
1
II) Solution générale y(x) = x2 − 2x + 31 ex + e− 2 x λ cos
√
3x
2
théorème de Fubini, on peut permuter les sommes infinies et affirmer
!
+∞
+∞
X
X
1
an
m
S(x) − =
(−1)
xm
m+1
x m=0
n
n=1
I) a) On a
1 1
1 1
−
4x+1 4x−3
Les primitives de f sur l’intervalle ]3, +∞[ sont
f (x) =
x 7→
√
+ µ sin
3x
2
I) a) Soit H primitive de h. H est croissante et H(b) − H(a) = 0 implique H
constante donc h = 0.
b) Cours.
II) a) S est définie sur R\Z− .
.
1 x+1
ln
+ C te
4 x−3
b) On a
+∞ X
1
1
1
1
(−1)n
1
f (x) =
+
+=
+
xn
n+1
4 1 − (−x) 12 1 − x/3
4
4.3
n=0
Le rayon de convergence vaut 1 car il est supérieur au minimum des rayon de
convergence des séries entières sommées et parce que F (x) −−−−−→
+∞ ce qui
+
x→−1
empêche un rayon de convergence strictement supérieur à 1.
Corrections
c) Les coefficients d’un développement en série entière étant ceux de la série de
Taylor associé, on obtient par troncature du développement en série entière un
développement limité.
f (x) =
7
20
1 2
− x + x2 − x3 + o(x3 )
3 9
27
81
II) a) p + q = Id, p ◦ q = 0 car (u − aId)(u − bId) = 0,
p = p ◦ Id = p ◦ p + p ◦ q = p ◦ p, aussi q ◦ q = q via q ◦ p = 0.
b) ker p = ker(u − aId), ker q = ker(u − bId) et (u − aId)(u − bId) = 0 donne par le
lemme de décomposition des noyaux, E = ker p ⊕ ker q.
c) u est diagonalisable car annule un polynôme scindé simple,
Sp(u) = {a, b}, Ea (u) = ker p, Eb (u) = ker q à moins que u = aId ou u = bId.
I) a) λ est valeur propre de u si, et seulement si, u − λId n’est pas injectif i.e.
det(u − λId) = 0.
b) L’application λ 7→ det(u − λId) est polynomiale de degré n et donc admet au
plus n racines.
II) a) On vérifie que
Z x
−αx
αt
ỹ : x 7→ e
y(0) +
f (t)e dt
0
est solution de l’équation différentielle et vérifie ỹ(0) = y(0) donc par le théorème
de Cauchy, ỹ = y.
b) Si y est 2π-périodique alors y(0) = y(2π).
Inversement, si y(0) = y(2π) alors z : x 7→ y(x + 2π) est solution de l’équation
différentielle et vérifie z(0) = y(0) donc z = y.
Par suite y est 2π-périodique si, et seulement si, y(0) = y(2π) i.e.
y(0)(e2πα − 1) =
2π
Z
f (t)eαt dt
0
avec e2πα − 1 6= 0.
c) Par suite, il existe une unique solution φ 2π-périodique à l’équation
différentielle, solution déterminée par
φ(0) =
2πα
(avec e
6= 1 car α ∈
/ iZ).
1
e2πα − 1
Z
0
2π
f (t)eαt dt
5
d) Cette solution est de classe C 1 donc développable en série de Fourier.
+∞
X
φ(x) =
cn einx
n=−∞
avec
cn = cn (φ) =
1
1
cn (f − φ0 ) = (cn (f ) − cn (φ0 ))
α
α
et
cn (φ0 ) = incn (φ)
donc
cn =
cn (f )
in + α
I) (ii) ⇔ (iii) en vertu du théorème d’inversibilité des matrices carrées.
u est orthogonal ⇔ ∀x, y ∈ E, (u(x) | u(y)) = (x | y).
Or (u(x) | u(y)) = (u? (u(x)) | y) donc u est orthogonal
⇔ ∀x, y ∈ E, (u? (u(x)) − x | y) = 0.
Or seul le vecteur nul est orthogonal à tout autre donc u est orthogonal
⇔ ∀x ∈ E, u? ◦ u(x) = x.
Or t AA est la matrice de u? ◦ u donc u est orthogonal si, et seulement si,
t
AA = In .
II)
(−1)n
1
1
un =
− 2α + o
= vn + wn
nα
2n
n2α
avec
(−1)n
1
1
vn =
et
w
=
−
+
o
n
nα
2n2α
n2α
P
P
vn converge en vertu du critère spécial des séries alternées et
wn converge si,
et seulement si, 2α P
> 1 par équivalence de termes généraux de séries de signe
constant. Au final,
un converge si, et seulement si, α > 1/2.
I) a) X p est annulateur de A donc les valeurs propres de A en sont racines. Seul 0
est valeur propre de A.
b) Une matrice symétrique réelle nilpotente est semblable à une matrice diagonale
de diagonale nulle, on peut donc affirmer qu’elle est nulle.
Corrections
II) a)
un+1
un
et
2 1
2
1
3n + 1
=1−
=1−
+o
=
3(n + 1)
3n+1
3n
n
vn+1
1
=
3/4
vn
(1 + 1/n)
donc pour n assez grand,
1
3
=1−
+o
4n
n
6
Il ne peut y avoir converge uniformément sur R+? car alors par le théorème de la
double limite :
lim+ lim fn (x) = lim lim+ fn (x)
x→0
n→+∞
n→+∞ x→0
donne 0 = +∞.
Pour a > 0, sur [a, +∞[,
nx2 e−nx
1 − e−a2
|fn (x)| 6
un+1
vn+1
>
un
vn
et par étude fonctionnelle nx2 e−nx 6
b) La suite de terme général uvnn est positive et croissante à partir d’un certain
P
rang donc il existe
vn
P α > 0 et N ∈ N tel que pour tout n > N , un > αvn . Or
diverge donc
un aussi.
4 2
ne
kfn k∞,[a,+∞[ 6
(maximum en x = 2/n) donc
4e2
→0
n(1 − e−a2 )
qui donne la converge uniformément sur [a, +∞[.
I) Classiquement une lemniscate de Bernoulli.
R
Rb
II) R fn (x)g(x)dx = a fn (x)g(x)dx est bien définie.
Par le changement de variable x = u/n (C 1 -difféomorphisme)
2n4
R +∞
R
R nb 1 u2
√
g(u/n)du = −∞ hn (u)du avec
f
(x)g(x)dx
=
1
−
4
n
2n
R
na
π
2n4
u2
hn (u) = √1π 1 − 2n
g(u/n)χ[na,nb] .
4
CS
2
hn est continue par morceaux, hn −−→ h avec h(u) = √1π e−u g(0).
Pour
grand de sorte que |a/n| , |b/n| 6 1 on a pour tout u ∈ [na, nb],
2 n4assez
u /2n 6 1/2 < 1,
4
2
4
2
|hn (u)| = √1π e2n ln(1−u /2n ) 6 √1π e−u = ϕ(u) et cette inégalité vaut aussi pour
u∈
/ [na, nb].
La fonction ϕ étant continue par morceaux et intégrable Rsur R, on peut √
appliquer
2
+∞
le théorème de convergence dominée et conclure sachant −∞ e−u du = π.
I) χA = X 2 − 5X + 6 = (X − 2)(X − 3). Par division euclidienne
X n = (X − 2)(X − 3)Q(X) + αn X + βn avec αn = 3n − 2n et βn = 3.2n − 2.3n
donc An = αn A + βn I car χA (A) = 0.
II) fn est définie sur R? et peut être prolongée par continuité en 0 en posant sur
fn (0) = n.
Pour x 6 0, fn (x) → +∞.
Pour x > 0, fn (x) → 0.
CS
Ainsi fn −−→ 0 sur R+? .
I) (ii) ⇔ (iii) en vertu du théorème d’inversibilité des matrices carrées.
u est orthogonal ⇔ ∀x, y ∈ E, (u(x) | u(y)) = (x | y).
Or (u(x) | u(y)) = (u? (u(x)) | y) donc u est orthogonal
⇔ ∀x, y ∈ E, (u? (u(x)) − x | y) = 0.
Or seul le vecteur nul est orthogonal à tout autre donc u est orthogonal
⇔ ∀x ∈ E, u? ◦ u(x) = x.
Or t AA est la matrice de u? ◦ u donc u est orthogonal si, et seulement si,
t
AA = In .
II) a) f est évidemment dérivable en tout a ∈ R? et aussi dérivable en 0 avec
f 0 (0) = 0.
b) f admet pour développement limité à l’ordre n − 1 : f (x) = o(xn−1 ).
Si f admet un DLn (0) celui-ci serait de la forme f (x) = axn + o(xn ) ce qui
entraîne que sin(1/x) admet une limite finie en 0 ce qui est notoirement faux.
√
I) Solution générale y(x) = C x2 − 1 + 2(x2 − 1).
n
P
P
II) Pour x = ei la relation donne 1 =
(ek | ei )2 = 1 +
(ek | ei )2 d’où
k=1
k6=i
(ek | ei ) = 0 pour k 6= i. La famille e est orthogonale.
n
P
2
(ek | x)2 = 0 donc x = 0 puis Vect(e)⊥ = {0} et
Pour x ∈ Vect(e)⊥ , kxk =
k=1
donc Vect(e) = E.
Corrections
Exercice 12 : [énoncé]P
an z n est absolument convergente or |an z n | ∼ |bn z n | donc
I)
Pa) Sin |z| < Ra alors
b n z est absolument
convergente puis |z| 6 Rb . Ainsi Ra 6 Rb puis Ra = Rb .
in n2 1
b) (n2 +1)2n ∼ 2n donc R = 2.
II) a) Poser le produit par blocs.
b) Si A et B sont inversibles alors (A ? B)(A−1 ? B −1 ) = In ? In = In2 donc A ? B
est inversible.
Si A n’est pas inversible alors il existe A0 6= 0 tel que AA0 = On et alors
(A ? B)(A0 ? In ) = 0 avec A0 ? In 6= 0 donc A ? B n’est pas inversible.
Un raisonnement semblable s’applique dans le cas où B n’est pas inversible.
c) Il existe P, Q matrice inversible telles que




µ1
?
λ1
?




−1
..
..
P −1 AP = 

 et Q BQ = 
.
.
0
λn
0
µn
avec λi et µi les valeurs propres de A et B.
On observe alors que (P −1 ? Q−1 )(A ? B)(P ? Q) = (P −1 AP ) ? (Q−1 BQ) est
triangulaire supérieure de coefficients diagonaux λi µj . Les valeurs propres de
A ? B sont les produits des valeurs propres de A et B.
d) On note que P −1 ? Q−1 = (P ? Q)−1 de sorte que A ? B est semblable à la
matrice triangulaire précédente et donc
χA?B = (−1)n
2
n Y
n
Y
(X − λi µj )
7
Si a21 + · · · + a2n−1 6= 0 alors A admet deux valeurs propres opposées non nulles et 0
pour valeur propre d’espace propre de dimension n − 2 donc A est diagonalisable.
Si a21 + · · · + a2n−1 = 0 alors 0 est la seule valeur propre de A et A est
diagonalisable si, et seulement si, A = 0 i.e. a1 = . . . = an−1 = 0.
I) χM = −X(X 2 − ab − bc + ca).
Si ab + bc > ca alors M est diagonalisable dans M3 (R) et a fortiori dans M3 (C).
Si ab + bc = ca alors 0 est seule valeur propre de M et donc M est diagonalisable
si, et seulement si, M = 0.
Si ab + bc < ca alors M n’est pas diagonalisable dans M3 (R) mais l’est dans
M3 (C).
P
II) a) Pour r ∈ ]0, R[,
an rn converge donc an rn → 0 et à partir d’un certain
n
rang |an | r 6 1.
P 1 n
P an n
b) an!n = O rn1n! et
r n n! z à un rayon de convergence +∞ donc
n! z a
pour rayon de convergence +∞.
n
P
1
1
c) On peut choisir r < 1 de sorte que |Sn | 6
|ak | 6 n+1
r n car r k 6 r n . Comme
k=0
P Sn n
ci-dessus
n! z a pour rayon de convergence +∞.
I) f est C 1 par morceaux et régularisée donc développable en série de Fourier.
Rπ
n+1
f est impaire, an = 0, bn = π2 0 t sin(nt)dt = (−1)n 2 puis
i=1 j=1
f (t) = 2
On en déduit
det(A ? B) = (det A det B)n
et la relation
tr(A ? B) = tr(A)tr(B)
est immédiate par un calcul direct.
+∞
X
(−1)n+1
sin(nt)
n
n=1
I) Si A est diagonalisable il est immédiat que B l’est aussi.
Inversement, si B est diagonalisable alors il existe un polynôme annulateur de B
scindé à racines simple
m
Y
(X − λk )
k=1
√
I) Solution générale y(x) = C x2 − 1 + 2(x2 − 1).
II) a) rg(A) = 0 si a1 = . . . = an−1 = 0 et rg(A) = 2 sinon.
b) La somme des valeurs propres est nulle.
c) En développant le déterminant selon la dernière colonne puis en développant
les mineurs obtenus selon leur kème colonne, on obtient
χA = (−1)n X n−2 (X 2 − (a21 + · · · + a2n−1 )).
Puisque B = Ap , le polynôme
m
Q
(X p − λk ) est annulateur de A, or ce dernier est
k=1
scindé à racines simples car
- les facteurs X p − λk et X p − λ` (avec k 6= `) on des racines deux à deux
distinctes ;
- les racines de X p − λk sont simples.
On en déduit que A est diagonalisable.
Corrections
8
I) Classiquement une lemniscate de Bernoulli.
1
1
II) f 0 (x) = 1+(1+x)
2 = x2 +2x+2 est une fraction rationnelle dont 0 n’est pas pôle
donc f 0 puis f sont développables en série entière et les rayons de convergence des
séries entières correspondantes sont
égaux.
1/2i
1/2i
1
−i
1
=
−
=
Re
x2 +2x+2
x+1−i
x+1+i
x+1−i = Im x+1−i .
+∞
√
P (−1)n n
1
1
1
2.
x+1−i = 1−i 1+ x =
(1−i)n+1 x avec un rayon de convergence R =
1−i
Comme 1 − i =
puis f (x) =
π
4
√
+
n=0
−iπ/4
2e
+∞
P
n=0
on a
1
x2 +2x+2
=
+∞
P
n=0
(3n+1)π
cos
4
xn+1
(n+1)2(n+1)/2
(3n+1)π
cos
4
2(n+1)/2
avec R =
√
xn
2.

CCP 2004

Transcription

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