Série 13

EPFL
Algèbre linéaire
1ère année
2009-2010
14 décembre 2009
Série 13
Le corrigé de cette série sera sur la page web du cours dès le mercredi 16 décembre.
Dans cette série, le symbole F désigne soit R, soit C.
Exercice 1. Soit

1
1
A=
1
1
0
1
2
0

0 −1
3 1
 ∈ Mat(4; F).
4 1
0 1
1. Calculer le rang de A.
2. En déduire que A est inversible et calculer son inverse.
3. Exprimer l’inverse de A sous forme de produit de matrices élémentaires.
Exercice 2.
1. Montrer qu’une matrice diagonale A de taille n × n est inversible si et seulement si
(A)ii 6= 0 pour tout i = 1, . . . , n. Quel est alors son inverse ?
2. Montrer qu’une matrice triangulaire supérieure A de taille n × n est inversible si et seulement si
(A)ii 6= 0 pour tout i = 1, . . . , n.
Exercice 3. Calculer l’inverse de


i
1
2
1 + i 3 − i 4 .
−i
−i i
Trouver a ∈ F tel que

1 −1 0
0
0 2 −1 0 


0 0
1
a
1 0
0 a2

soit inversible et calculer son inverse pour les valeurs de a trouvées.
Exercice 4. Trouver toutes les permutations de l’ensemble {1, 2, 3} et calculer leur nombre d’inversion.
Faire de même avec l’ensemble {1, 2, 3, 4}.
Exercice 5. Calculer les déterminants des matrices

1 2 3
A = 3 4 5 
1 1 1


et
1
0
1
2
B=
3
2
−2 −3

1 −1
0 −1
.
1 0
1 1
(Tournez la page, svp.)
L’examen propédeutique d’algèbre linéaire 1 aura lieu le jeudi 14 janvier de 8h15 à 11h15.
Vous serez répartis comme suit dans les salles :
– Les étudiants de physique :
– En salle CE4 : Alves De Souza — Gmür
– En salle CE6 : Gobet — Zultak.
– Les étudiants de mathématiques :
– En salle CESPO : Abu-Nijmeh — Morell
– En salle CE3 : Mudrokha — Zwahlen.
Renseignez-vous à l’avance sur l’endroit où se trouve votre salle. L’examen commencera à 8h15 donc
soyez là vers 8h10 au plus tard pour pouvoir vous installer.