PRIMITIVES

PRIMITIVES
Primitive d'un quotient de la forme u'/u
Le quotient est de la forme
Règle à employer : une primitive de
u'
u
u'
est : ln (u)
u
Remarque : Si
u’ n’est pas au numérateur, on peut calculer la primitive si le numérateur est
u'
égal à k×u’ (k IR) on a alors une forme k ×
dont une primitive est k × ln (u).
u
Exemple :
 Déterminer une primitive de la fonction
f(x) = 3
3x – 4
f définie et dérivable sur ]4/3 ; + ∞[ telle que :
u'
avec u(x) = 3x – 4 et u’(x) = 3.
u
On applique la formule donc F(x) = ln(3x – 4)
(on peut ajouter un nombre)
On reconnait la forme
 Déterminer une primitive de la fonction
que :
f(x) = –2
7x + 3
Pour reconnaitre la forme
f définie et dérivable sur ]– ∞ ; –3/7[ telle
u'
il faut prendre u(x) = 7x + 3 et u’(x) = 7.
u
Or, on n’a pas 7 mais –2. Dans ce cas on considère que – 2 = –2 ×
7
2
=– ×7
7
7
u'
2
7
×
Ce qui nous donne une forme k×
7
7x + 3
u
2
On applique la formule donc F(x) = – × ln(7x + 3)
(on peut ajouter un nombre)
7
Ecrivons f(x) = –
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Fiche originale réalisée par Thierry Loof
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Exercice 1
Déterminer une primitive de :
f(x) =
2x
x² + 1
f(x) =
2x – 1
x² – x + 1
f(x) =
2
3x – 2
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Exercice 2
Déterminer les primitives de :
f(x) =
1
x+5
f(x) =
–6x + 2
–3x² + 2x + 1
f(x) =
x–2
x² – 4x + 8
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Corrigé 1
Déterminer une primitive de :
f(x) =
2x
x² + 1
u'
avec u(x) = x2 + 1 et u’(x) = 2x.
u
On applique la formule donc F(x) = ln(x2 + 1) + 0,0256
On reconnait la forme
f(x) =
2x – 1
x² – x + 1
u'
avec u(x) = x2 – x + 1 et u’(x) = 2x – 1.
u
On applique la formule donc F(x) = ln(x2 – x + 1) – 2,0367
On reconnait la forme
f(x) =
2
3x – 2
Pour reconnaitre la forme
u'
il faut prendre u(x) = 3x – 2 et u’(x) = 3.
u
Or, on n’a pas 3 mais 2. Dans ce cas on considère que 2 = 2 ×
3
2
=
×3
3
3
u'
2
3
×
Ce qui nous donne une forme k×
3
3x – 2
u
2
On applique la formule donc F(x) = × ln(3x – 2)
(on peut ajouter un nombre)
3
Ecrivons f(x) =
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Primitive d'un quotient de la forme u'/u
Corrigé 2
Déterminer les primitives de :
f(x) =
f(x) =
1
x+5
F(x) = ln(x + 5) + K
–6x + 2
–3x² + 2x + 1
F(x) = ln(–3x² + 2x + 1) + K
f(x) =
x–2
x² – 4x + 8
ln(x² – 4x + 8)
F(x) =
+K
2
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