Rappel sur la notion de primitive

Rappel sur la notion de primitive
1
Primitives d’une fonction
1.1
Notion de primitive
Définition
Soit f une fonction définie sur un intervalle I.
On dit que la fonction F est une primitive de f sur I si et seulement si F est dérivable sur I avec :
pour tout x ∈ I, F 0 (x) = f (x).
Exemple
Soit F : x 7→ x2 , pour x ∈ R et f : x 7→ 2x pour x ∈ R.
f et F sont définies sur R et F est dérivable sur R.
Pour tout x ∈ R, on a F 0 (x) = 2x = f (x),
donc F est une primitive de f sur R.
1.2
Existence des primitives
Théorème admis
Toute fonction continue sur un intervalle I admet des primitives sur I.
notation
Lorsqu’une fonction est désignée par une lettre minuscule, on note généralement une de ses primitives
par la même lettre majuscule.
1.3
Primitive des fonctions usuelles
En écrivant le tableau des dérivées « à l’envers », on obtient le tableau suivant où λ sont des réels
quelconques, n ∈ N/{0} :
la fonction f définie par. . .
admet sur I
f (x) = λ
I=R
f (x) = x
I=R
f (x) = xn
1
f (x) =
x
f (x) = ex
1
f (x) = √
x
I=R
I =]0, +∞[
I=R
I =]0; +∞[
1
pour primitive F définie
par. . .
F (x) = λx
1
F (x) = x2
2
1
xn+1
F (x) =
n+1
F (x) = ln(x)
F (x) = ex
√
F (x) = x
2
Calcul de primitives : niveau 1
2.1
Les propriétés algébriques
Propriété 1
Soit f une fonction admettant sur I une primitive F.
Soit k un nombre réel.
La fonction k × f admet pour primitive sur I la fonction : k × F
Propriété 2
Soit f une fonction admettant sur I une primitive F.
Soit g une fonction admettant sur I une primitive G.
La fonction f +g admet pour primitive sur I la fonction : F +G
2.2
Un exemple
151
On considère la fonction f définie sur ]0; +∞[ par f (x) = 3x2 + 5x − 3 +
x
1
2
On a : f (x) = 3 × x +5 × x−3 + 151 ×
x
1 3
1 2
D’où F (x) = 3 × x +5 × x −3 × x + 151 × ln(x)
3
2
5 2
3
D’où F (x) = x + x − 3x + 151ln(x)
2
3
Calcul de primitives : niveau 2
3.1
Les propriétés algébriques
Soit I un intervalle de R. Soit n un entier non nul et u une fonction dérivable sur I.
1
– La fonction u × u0 admet u2 comme primitive sur I.
2
1
– La fonction un × u0 admet n+1
un+1 comme primitive sur I.
0
u
u
– La fonction u × e admet e comme primitive sur I.
u0
– La fonction
admet ln (|u|) comme primitive sur I ( où I est un intervalle sur lequel u ne s’annule
u
pas).
0
1
– La fonction uun admet − (n−1)u
n−1 pour primitive (où n ≥ 2 et I est un intervalle sur lequel u ne
s’annule pas).
3.2
Un exemple
On considère la fonction f définie sur R par f (x) = 3e3x+2453453 +
2x
.
+1
x2
3e3x+2453453 est de la forme u0 eu avec
u0 (x) = 3x + 2453453 pour tout x de R
2x
v0
est
de
la
forme
avec
x2 + 1
v
0
2
v (x) = x + 1 > 0 pour tout x de R
f admet pour primitive sur R la fonction F définie par : F (x) = e3x+2453453 + ln x2 + 1
2
3.3
Où Une transformation d’écriture est nécessaire
On considère la fonction f définie sur I =] − 2; +∞[ par f (x) = e0,12x+1 +
1
1
5
× 0, 120,12x+1 + ×
0, 12
5 5x + 10
De plus 5x + 10 > 0 pour tout x de I
1 0,12x+1 1
Une primitive de f sur I est donnée par
e
+ ln (5x + 10)
0, 12
5
1
.
5x + 10
On a f (x) =
4
L’ensemble des primitives
4.1
Les primitives
Exemple
Soit F1 : x 7→ 2x2 + 3x + 4 et F2 : x 7→ 2x2 + 3x.
Les fonctions F1 et F2 sont définies et dérivables sur R et on a :
F10 (x) = 4x + 3
et F20 (x) = 4x + 3.
Ainsi la fonction f définie par f (x) = 4x + 3 admet (au moins) deux primitives sur R.
primitives
f est une fonction définie sur un intervalle I. Si f admet une primitive F sur I, alors elle en admet
une infinité.
Ces primitives s’écrivent toutes sous la forme x →
7 F (x) + k.
Autre formulation
La propriété, peut aussi s’énoncer comme suit : deux primitives d’une fonction diffèrent d’une
constante.
Exemple
Déterminer toutes les primitives sur ]0; +∞[ de f : x 7→ 2x + 3 +
1
.
x
Les primitives de f sont les fonctions Fk définies par
Fk (x) = x2 + 3x + ln(x) + k, pour k ∈ R et x > 0.
4.2
Primitive avec condition initiale
Propriété
Soit f une fonction définie sur I admettant des primitives sur I.
Soit x0 ∈ I et y0 ∈ R.
Il existe une unique primitive F sur I de la fonction f telle que F (x0 ) = y0 .
On dit que F est la primitive de f sur I qui satisfait à la condition initiale F (x0 ) = y0 .
Exemple
Soit f la fonction définie sur R par f (x) = 4x − 1.
1. Déterminer toutes les primitives de f sur R.
2. Déterminer la primitive de f sur R qui s’annule pour x = 1.
3