CHAPITRE II – PRIMITIVES

CHAPITRE II – PRIMITIVES
I) DEFINITION DES PRIMITIVES D’UNE FONCTION
1) Définition
Définition Soit f une fonction définie sur un intervalle I.
On appelle primitive de f sur I TOUTE fonction F dérivable sur I, telle que pour tout x  I, F ’( x ) = f ( x ).
4
x
f ( x ) = 3 x2 + x – + 3 définie sur I = IR
Exemple :
Remarque :
F : x  x3 + 1 x2 – 4 ln x + 3 x est une primitive de f sur IR.
2
3
F : x  x + 1 x2 – 4 ln x + 3 + k est une autre primitive de f sur IR (avec k une constante ).
2
Propriété ( admise )
Exemple 1 :
Toute fonction f , dérivable sur I, admet DES primitives sur I.
Soit f ( x ) =
1
u’ ( x )
=
x+1 u(x)
f est dérivable sur ] 1 ; +  [ donc elle admet au moins une primitive sur ] 1 ; +  [.
Par exemple F ( x ) = ln ( x + 1 ) en est une ( ce n’est pas la seule : F ( x ) = ln ( x + 1 ) +k convient aussi ).
1
Exemple 2 :
Soit f ( x ) = 2
x +1
f est dérivable sur IR donc elle admet au moins une primitive sur IR.
Problème : la trouver ! ( impossible à l’aide des fonctions que vous connaissez )
2) Ensemble des primitives d’une fonction
Propriété Soit f une fonction dérivable sur l’intervalle I. Soit F une primitive de f sur I.
Toutes les primitives de f sont des fonctions Fk de la forme x  F ( x ) + k (avec k une constante réelle ).
Démonstration : F est une primitive de f sur I donc F ’( x ) = f ( x ).

● Montrons en deux points que les fonctions Fk ( x ) = F ( x ) + k ( k  IR ) sont les primitives de f sur I.
►
D’abord, montrons les fonctions Fk ( x ) = F ( x ) + k ( k  IR ) sont des primitives de f .
On calcule Fk ’( x ) : Fk ’( x ) = F ’( x ) + 0 = f ( x )
Donc Fk est bien une primitive de f sur I.
►
Ensuite, montrons que les seules primitives de f sur I sont les fonctions de cette forme.
On pose G ( x ) = F ( x ) + H ( x ) où H est une fonction dérivable sur I.
On veut que G ’( x ) soit égal à f ( x ).
Or G ’( x ) = F ’( x ) + H ’( x ) = f ( x ) + H ’( x ).
Donc H ’( x ) = 0.
Les seules fonctions ayant pour dérivée une constante sont les fonctions constantes H ( x ) = k.
Si G est une primitive de f sur I alors G est de la forme G ( x ) = F ( x ) + k.
● Conclusion :
Toutes les fonctions de la forme G ( x ) = F ( x ) + k sont des primitives de f sur I et ce sont les seules.
2
Exemple : f ( x ) =
F ( x ) = 2 ln x est une primitive de f sur IR.
x
Les primitives de f sur IR sont les fonctions F : x  2 ln x + k ( où k est une constante )
Remarque :
Ë Deux primitives d’une même fonction sur un intervalle I diffèrent d’une constante.
Ë Si F et G sont deux primitives d’une même fonction f sur I alors il existe k  IR tel que pour tout x  I :
F(x)+k=G(x)
II) CALCUL DE PRIMITIVES
1) Fonctions usuelles
f est définie par
Sur I =
Les primitives F de f sur I sont définies
par :
f(x)=0
IR
F(x)=k
f(x)=a
IR
F(x)=ax+k
f(x)=x
IR
F ( x ) = …………… + k
f ( x ) = x2
IR
F ( x ) = …………….. + k
f ( x ) = x3
IR
F ( x ) = ……………… + k
f ( x ) = xn
( n IN , n  1 )
IR
f(x)=
1
x
F(x)=
]0;+[
ou ] –  ; 0
[
1 n+1
x
+k
n+1
F ( x ) = ………….. + k
f(x)=
1
= x –2
x2
F ( x ) = ………….. + k
f(x)=
1
= x –3
x3
F ( x ) = ………….. + k
1
= x –n
xn
( n  IN ; n  2 )
f(x)=
F(x)=
–1 1
+k
n – 1 xn – 1
1
x
F ( x ) = ………… + k
f ( x ) = ex
F ( x ) = ………….. + k
f(x)=
Voir dans votre livre p. 41
2) Primitive avec condition initiale
Théorème Soit f une fonction dérivable sur I. Soit x0  I et y0  IR.
Il existe une unique primitive F de f sur I vérifiant la condition F ( x0 ) = y0.
Démonstration :
Soit G une primitive de f sur I, les autres primitives de f sur I sont les fonctions définies sur I par :
x  G ( x ) + k
Soit F une primitive quelconque de f sur I. F ( x ) = G ( x ) + k.
F ( x0 ) = y0  G ( x0 ) + k = y0  k = y0 – G ( x0 ) Donc F ( x ) = G ( x ) + y0 – G ( x0 )

Application :
1
– 1.
x
1. Trouver une primitive F1 de f qui s’annule pour x = 1.
2. Trouver une autre primitive F2 de f telle que F2 ( 3 ) = – 2.
Soit f définie sur IR par f ( x ) =
Les primitives de f sur IR sont les fonctions de la forme F : x  ln x – x + k ( où k est une constante réelle )
1. On cherche une primitive F1 avec F1 ( 1 ) = 0.
F1 ( 1 ) = ln ( 1 ) – 1 + k = – 1 + k
Or F1 ( 1 ) = 0 donc – 1 + k = 0 soit k = 1.
Donc F1 ( x ) = ln x – x + 1.
2. On cherche une primitive F2 telle que F2 (–3) = 9
F2 ( 3 ) = ln ( 3 ) – 3 + k
Or F2 ( 3 ) = – 2 donc on choisit k tel que :
ln 3 – 3 + k = – 2 soit k = – 2 + 3 – ln 3 = 1 – ln 3.
Donc F2 ( x ) = ln x – x + 1 – ln 3.
III) FORMES USUELLES DE PRIMITIVES
1) Linéarité
Propriété Soit F une primitive de f sur I et G une primitive de g sur I, alors :
F + G est une primitive de f + g sur I.
Si   IR , alors  F est une primitive de  f sur I.
Démonstration :
( F + G )’ = F ’ + G ’ = f + g donc F + G est une primitive de f + g sur I.
(  F )’ =  F ’=  f donc  F est une primitive de  f sur I.
1
1
Remarques : F  G n’est pas une primitive de f  g.
n’est pas une primitive de
G
g
F
f
n’est pas une primitive de .
G
g
2) Primitives de formes usuelles
Soit
u
une fonction dérivable sur
l’intervalle I. Les fonctions f suivantes
sont également dérivables et :
Exemple :
1) f (x) = ( 2 x + 1 ) ( x2 + x + 3 )
f = u’ u
F = 1 u2
2
I = IR.
u (x) = x2 + x + 3
donc F (x) = 1 ( x2 + x + 3 )2
2
avec
2) f (x) = 4 x ( x2 + 5)3
u (x) = x2 + 5
u’ (x) = 2 x
f (x) = 2  ( 2 x ) ( x2 + 5)3
I = IR
f = 2 ( u’ u3 )
F =2 (
3) f (x) = ( 3 x + 5)3
u (x) = 3 x + 5
u’ (x) = 3
1
f (x) =  ( 3 ) ( x2 + 5)3
3
4) f (x) =
3
(2 x + 1)2
u’ (x) = 2 x + 1
1 4
u )
4
I = IR
F (x) =1 ( x2 + 5 )4
2
f = 1 ( u’ u3 )
3
1
F =1 ( u4 )
3 4
F (x) =
1 2
(x + 5)4
12
I=]–1;+[
2
u (x) = 2 x + 1
u’ (x) = 2
2
3 u’
f (x) = 3  1
f=  2
2
2 u
2 (2 x + 1)
3
1
F= (– )
2
u
3
1
F (x) = ( –
)
2
2x+1