dérivées et primitives

DÉRIVÉES ET PRIMITIVES
I. Dérivée de un (x) :
Notation :
On note un (x) la fonction qui à tout x associe (u (x))n.
Propriété :
Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I de ℝ.
- Pour tout entier n strictement positif, la fonction f (x) = un (x) est dérivable sur I et un' (x) = nu' (x)un-1 (x).
- Pour tout entier n strictement négatif, si pour tout x de I u (x) ≠ 0, la fonction f (x) = un (x) est dérivable
sur I et un' (x) = nu' (x)un-1 (x).
Exemple :
- Soit f (x) = (2x + 3)3. On a f (x) = (u (x))3 avec u (x) = 2x + 3, donc u' (x) = 2.
On a donc f ' (x) = 3u' (x)u2 (x) = 3 × 2 × (2x + 3)2 = 6(2x + 3)2.
- Soit g (x) =
1
–5
5 . On a g (x) = (u (x)) avec u (x) = –4x + 1, donc u' (x) = –4.
( – 4 x +1)
On a donc g ' (x) = –5u' (x)u–6 (x) = –5 × (–4) × (–4x + 1)–6 =
20
6 .
( – 4 x +1)
II. Primitive d'une fonction :
1°) Définition :
Définition :
Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I.
On appelle fonction primitive de f sur I toute fonction F dérivable sur I telle que F' = f sur I.
Exemple :
Si f (x) = 2x, une primitive de f est F(x) = x2, une autre est F2(x) = x2 +7.
2°) Ensemble des primitives :
Théorème :
Soit F une primitive de f sur un intervalle I. Alors pour tout réel c, la fonction G définie par
G(x) = F(x) + c est aussi une primitive de f sur I. Toute primitive de f sur I est de ce type.
Remarque :
Une fonction admettant des primitives sur I en possède donc une infinité.
Exemple :
Si f (x) = 2x, toutes les primitives de f sont de la forme F(x) = x2 + c avec c ∈ ℝ.
3°) Tableau des primitives :
En lisant le tableau des dérivées à « l’envers », on obtient le tableau suivant :
La fonction f
1
2
f (x) = 0
f (x) = k
3
f (x) = x
4
f (x) = xn
7
8
1
x2
1
f (x) =
.
√x
f (x) = sin (x)
f (x) = cos (x)
9
f (t) = sin (t + )
10
f (t) = cos (t + )
5
Fonctions primitives F
(c est une constante réelle)
F (x) = c
F (x) = kx + c
2
x
F (x) =
+c
2
F (x) =
x n+1
+c
n+1
ℝ
ℝ
ℝ
(n entier relatif non
nul différent de –1)
ℝ si n  1 et
ℝ* si n  –2
1
+c
x
ℝ∗
F (x) = 2 √ x + c
ℝ∗+
F (x) = – cos (x) + c
F (x) = sin (x) + c
1
F (t) = – ω
cos(ω t+ϕ) + c
1
F (t) = ω
sin( ω t+ ϕ) + c
ℝ
ℝ
F (x) = −
f (x) =
6
Définie sur
ℝ
ℝ
III. Détermination de primitives :
1°) Opérations sur les primitives :
Théorème :
Soit f et g deux fonctions dérivables sur un intervalle I de ℝ et k une constante réelle.
Si F est une primitive de f, alors kF est une primitive sur I de kf.
Si F est une primitive de f et G une primitive de g alors F + G est une primitive de f + g.
Exemples :
6
Soient f (x) = x5 et g (x) = sin x. D’après le tableau ci-dessus, F (x) =
x
et G (x) = –cos x sont des
6
primitives respectives de f et g.
Donc, si h (x) = 6f (x), alors H (x) = 6F (x) = x6 est une primitive de h (x).
6
Si i (x) = f (x) + g (x), alors I (x) = F (x) + G (x) =
x
– cos x est une primitive de i (x)
6
2°) Primitive de u' (x)un (x) :
Propriété :
Les primitives des fonctions de la forme f (x) = u' (x)un (x) avec n un entier relatif non nul différent de –1
un +1 ( x )
sont de la forme F (x) =
+ c avec c ∈ ℝ.
n+1
Preuve :
F (x) =
1
un +1 (x )
×u n+1 ( x) + c.
+c =
n+1
n+1
Donc F' (x) =
1
×( n+ 1 ) u ' (x )u n (x ) + 0 = u ' ( x)u n( x) = f (x).
n+1
Exemple :
Soit f (x) = (2x + 1)(x2 + x – 3)4. Cherchons une primitive de f.
On a bien f (x) = u' (x)un (x) avec u (x) = x2 + x – 3, donc u' (x) = 2x + 1 et n = 4.
un +1 (x )
( x 2 + x−3)5
Une primitive de f est donc F (x) =
=
.
n+1
5
Exemple :
Soit g (x) =
3x – 2
4 . Cherchons une primitive de f.
( x – 2 x+ 4)
3
On a bien f (x) = (3x – 2)(x3 – 2x + 4)–4 = u' (x)un (x)
avec u (x) = x3 – 2x + 4, donc u' (x) = 3x – 2 et n = –4.
3
Une primitive de f est donc F (x) =
−3
( x – 2 x+ 4)
1
un +1 (x )
=
=
.
3
−3
n+1
−3( x – 2 x+ 4)3
3°) Primitive prenant une valeur en un point donné :
Propriété :
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I. Soit x0 un nombre de l'intervalle I et a un nombre réel
quelconque. Il existe une unique fonction F, primitive de f sur I, telle que F (x0) = a.
Exemple :
Soit f (x) = x. Déterminons la primitive F de f telle que F(2) = 3.
F est de la forme F(x) =
cherchée est donc F (x) = x2 + 1.
x2
22
+ c. On doit avoir F(2) = 3 donc
+ c = 3 donc c = 1. La primitive
2
2