PRIMITIVES

PRIMITIVES
Déterminer la primitive d'une fonction de la forme ku
Règles à employer : une primitive de
xn est
une primitive de
Exemple 1 :
une primitive de
1
x
1
n+1
est ln
x
x6
x5 est 1 x6 soit . Une primitive de 15 est 1 4.
6
6
x
4x
 Ne pas oublier qu’une primitive de
ku’ est ku, que x = x1 et que 1 = x0.
Exemple 2 : une primitive de –2x5 est donc –2×
Une primitive de
–4
x
= –4×
1
x
1
xn+1 ; une primitive de 1n est _
;
n
x
(n – 1)x – 1
3
x5
= 3×
est –4 ln
1
x5
est
x6
6
=–
x6
3
.
3
.
4x4
x
Exemple 3 : Pour la fonction définie par f(x) = –4x3 ( –4×
Une primitive de f est :
Une autre primitive de
Une autre primitive de
f est :
f est :
x3)
–x4
–x4 –2 5
–x4 + 832,14 etc…
Les primitives de f sont :
– x4 + k.
La primitives de f passant par le point A(2, 0) est : F(x) = – x4 + 16.
(A partir de –x4 + k, on a posé – 24 + k = 0, équation que l’on a résolu pour
trouver k = 16)
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Déterminer la primitive d'une fonction de la forme ku
Fiche originale réalisée par Thierry Loof
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Déterminer la primitive d'une fonction de la forme ku
Exercice 1
Déterminer les primitives de :
f1 (x) =
f4 (x) =
x
4
2
x
f2 (x) =
–3x²
4
f3 (x) = 5x7
f5 (x) =
1
3x
f6 (x) = –
4
7x
Corrigé
Exercice 2
Déterminer une primitive de :
x3
f1 (x) = – 4
f4 (x) =
4
x²
f2 (x) = x4
f5 (x) =
2
3x4
f3 (x) =
–3
x²
f6 (x) = –
8
5x7
Corrigé
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Déterminer la primitive d'une fonction de la forme ku
Corrigé 1
Déterminer les primitives de :


f1 (x) =
x
4
=
1
4
x
On reconnait la forme
ku avec k = 1 et u(x) = x.
Donc les primitives de
x²
f1 sont F1 (x) = 1 × 2 + K
4
f2 (x) =
4
F1 (x) =
x²
8
+K
–3x²
–3
=
x²
4
4
–3
On reconnait la forme
ku avec k = 4 et u(x) = x².
x3
–3
Donc les primitives de f2 sont F2 (x) =
×
+K
4
3
F2 (x) =
–x3
+K
4
 f3 (x) = 5x7
ku avec k = 5 et u(x) = x7.
x8
Donc les primitives de f3 sont F3 (x) = 5×
8
On reconnait la forme



f4 (x) =
2
x
=2×
5x8
F3 (x) =
+K
8
1
x
1
On reconnait la forme
ku avec k = 2 et u(x) =
Donc les primitives de
1
1
1
f5 (x) =
= ×
3
3x
x
f4 sont F4 (x) = 2 × ln x + K
On reconnait la forme
ku avec k = 3 et u(x) = .
x
Donc les primitives de
f5 sont F5 (x) = 3 × ln x + K
f6 (x) = –
4
7x
=–
1
x
.
F4 (x) = 2ln
x+K
1
1
F5 (x) =
lnx
+K
3
4 1
×
7 x
4
1
On reconnait la forme
ku avec k = – 7 et u(x) = .
x
Donc les primitives de
f6 sont F6 (x) = – 7 × ln x + K
4
F6 (x) = –
4lnx
+K
7
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Corrigé 2
Déterminer une primitive de :

x3
f1 (x) = – 4
F1 (x) = –

f2 (x) = x4
F2 (x) =

f3 (x) =

f4 (x) =


–3
x²
F3 (x) =
16
x5
5
+5
–12
5x8
+K
8
4
x²
On reconnait la forme
ku avec k = 4 et u(x) =
Donc une primitive de
f4 est F4 (x) = 4 ×
f5 (x) =
x4
–1
x
1
.
x²
+ 13,58
F4 (x) = –
4
x
+ 13,58
2
3x4
2
1
On reconnait la forme
ku avec k = 3 et u(x) = 4 .
x
Donc une primitive de
f5 est F5 (x) = 4 ×
f6 (x) = –
–1
+1
3x3
8
5x7
–4
+1
3x3
1
F6 (x) =
5x8
F5 (x) =
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