b) Filtre passe-bande : généralisation La fonction de transfert d`un

b) Filtre passe-bande : généralisation
La fonction de transfert d’un filtre passe-bande du second ordre peut s’écrire sous la forme :
j Qx H0
H0
=
H(jx) =
1 − x2 + j Qx
1 + jQ(x − x1 )
La deuxième expression fait apparaître le dénominateur utilisé dans la forme canonique.
On en déduit les valeurs du gain G = |H| et de ϕ = arg(H)
|H0 |
G= q
1 + Q2 (x − x1 )2
1
ϕ = arg(H0 ) − arg 1 + jQ(x − )
x


1 
). On en déduit α ∈ [− π2 , π2 ]. On peut alors utiliser la fonction
x}

soit α = arg |{z}
1 +j Q(x −
| {z
>0
>0 ou <0
arctan pour exprimer ϕ :
1
ϕ = arg(H0 ) − arctan Q(x − )
x
avec arg(H0 ) = 0 pour H0 > 0 et arg(H0 ) = π pour H0 < 0.
Résonance :
Dans l’expression de G, le numérateur étant constant (égal à |H0 |), G admettra un maximum
si le dénominateur admet un minimum et donc si 1 + Q2 (x − x1 )2 admet une valeur minimale.
Or Q2 (x − x1 )2 > 0. La valeur minimale est donc atteinte pour (x − x1 ) = 0, soit pour x2 = 1
et donc, puisque x > 0 pour x = 1, ce qui correpond à ω = ω0 .
∀Q G = Gmax = |H0 | pour x = 1
c) Diagramme de Bode asymptotique
On détermine tout d’abord les expressions approchées de H, suivant les différents domaines
de fréquence :
x1
H(jx) '
H0
−j Q
x
= jx HQ0
ω ω0
H0
H(jω) ' jω Qω
0
comportement dérivateur
x=1
x1
H(jx) = H0
H(jx) '
H0
jxQ
ω = ω0
ω ω0
H(jω) = H0
H(jω) '
1 H0 ω0
jω Q
comportement intégrateur
1
On en déduit les expressions approchées
– du gain G = |H|
x1
G=
|H0 |x
Q
GdB = 20 log |H0 | − 20 log Q + 20 log x
droite de pente +20 dB/dec
x=1
G = |H0 |
x1
G'
|H0 |
Qx
GdB = 20 log |H0 |
GdB = 20 log |H0 | − 20 log Q − 20 log x
droite de pente −20 dB/dec
Remarque : l’intersection des deux asymptotes avec la verticale x = 1 (log x = 0) correspond
à un point d’ordonnée 20 log |H0 | − 20 log Q.
– de la phase ϕ, en se plaçant dans le cas où H0 > 0
jxH0
x 1 ϕ = arg
= π2 (pour H0 > 0)
Q
x=1
ϕ = arg(H0 ) = 0 (pour H0 > 0)
x1
ϕ = arg
H0
jQx
= − π2 (pour H0 > 0)
d) Courbes (pour H0 = 1)
G(dB)
20
Q =0.1
10
0 -2
10
-10
10
-1
10
0
10
1
10
Q =1
-20
-30
-40
+20dB/dec
Q =10
-20dB/dec
-50
-60
2
x
2
ϕ
1.5
1
0.5
0
-2
10
10
-1
10
0
10
-0.5
1
x
10
2
Q =0.1
Q =1
-1
Q =10
-1.5
. quel que soit le facteur de qualité, la résonance a toujours lieu pour x = 1 (ω = ω0 ). La
résonance est d’autant plus aiguë que le facteur de qualité est élevé.
. l’amplitude de variation de ϕ est de π. Le saut de π/2 à −π/2 est d’autant plus prononcé
que le facteur de qualité est élevé. Pour x = 1, ω = ω0 , ϕ = 0 : le déphasage entre l’entrée et
la sortie est nul à la résonance (pour H0 > 0).
. dans le domaine des basses fréquences (x 1, ω ω0 ), la pente de l’asymptote vaut
H0
: le filtre se comporte comme un dérivateur.
+20 dB/dec et ϕ = +π/2 car H(jω) ' jω Qω
0
. dans le domaine des hautes fréquences (x 1, ω ω0 ), la pente de l’asymptote vaut
1
H0 ω0 : le filtre se comporte comme un intégrateur.
−20 dB/dec et ϕ = −π/2 car H(jω) ' jω
e) Bande passante à -3dB
La bande passante correspond au domaine de fréquence pour lesquelles
Gmax
√ 6 G 6 Gmax
2
√
GdBmax − 3dB 6 GdB 6 GdBmax
car −20 log 2 = −3.
Gmax = |H0 |, les pulsations de coupures vérifient donc l’équation :
|H0 |
q
|H0 |
= √
2
1 + Q2 (x − x1 )2
En inversant et en élevant au carré :
2
1
1+Q x−
=2
x
2
3
1
Q x−
= ±1
x
1er cas : Q x −
1
x
= −1
1
x−1=0
Q
q
1
on ne conserve que la racine positive : x1 = − 2Q
+ 12 Q12 + 4
2eme cas : Q x − x1 = 1
x2 +
1
x−1=0
Q
q
1
on ne conserve que la racine positive : x2 = 2Q
+ 12 Q12 + 4
q
q
1
1
1
1
1
1
+ 4 − − 2Q + 2 +4 =
On en déduit ∆x = x2 − x1 = 2Q + 2 Q2
Q2
x2 −
∆x =
1
Q
∆ω
∆f
1
=
=
ω0
f0
Q
avec ∆ω = ω2 − ω1 différence entre les deux pulsations de coupures, ∆f = f2 − f1 différence
entre les deux fréquences de coupures.
Plus le facteur de qualité est élevé, plus la bande passante est étroite.
1
1
Remarque : Q x1 − x1 = −1, ϕ(x1 ) = − arctan Q x1 − x1 = − arctan(−1) = π4 .
Q x2 − x12 = 1, ϕ(x2 ) = − arctan Q x2 − x12 = − arctan(1) = − π4 .
(en supposant H0 > 0)
f ) Entrainez-vous
Sur une feuille de papier semi-log, tracer le diagramme de Bode d’un filtre passe-bande de
caractéristiques :
H0 = 10, fréquence de résonance f0 = 102 Hz, facteur de qualité Q = 5.
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