Maths - TD N° 1

S amedi 10 N ovembre 2007
A nnée 2007/2008.
U niversité Djiℓℓaℓi L iabès de S idi-Beℓ-A bbès.
F acuℓté des S ciences de ℓ’I ngénieur.
T ronc C ommun T echnologie.
L es S éries N umériques
2ème A nnée I N G .
C hapitre N o 1
M ath : T .D. N o 1
E xercice 1
Soient les deux suites (un ) et (vn ), on suppose
pour tout n dans N, un = vn+1 − vn .
X que
un sont de même nature.
1. Montrer que la suite (vn ) et la série
2. Application : Montrer que la série suivante est convergente et calculer sa somme.
∞
X
1
Log 1 − 2
n
n=2
.
E xercice 2
Sommer les séries suivantes.
∞
X
n3 − n + 5
n!
n=0
∞
X
(−1)n
e−n (πα)n
n=0
;
où α > 1, réel donné.
E xercice 3
1. De la convergence des séries
gences des séries suivantes :
X
X un et
vn à termes réels positifs ; déduire la conver-
X √
un v n
et
X √
un
n
.
(On utilisera l’identité xy ≤ (x2 + y 2 )/2). A-t-on la réciproque ?
E xercice 4
Critère
Plogarithmique et série de Bertrand :
Soit ( un ) une série à termes strictement positifs.
∗
1.)
P On suppose qu’il existe k > 1 tel que : Log (1/un ) ≥ k Log n ∀n ∈ N ; montrer qu’alors
( un ) est convergente.
P
2.) On suppose que ∀n ∈ N∗ : Log (1/un ) ≤ Log n, montrer que ( un ) est divergente.
3.) On pose ℓ = lim Log (1/un )/Log n , en déduire que :
n→∞
ℓ > 1 =⇒ (
P
un ) converge
ℓ < 1 =⇒ (
P
un )
diverge.
4.) Application : Étudier la série de Bertrand :
∞
X
n=2
nα
1
où α et β, sont deux réels donnés.
Logβ n
5.) Que peut-on dire si ℓ = 1? Justifier votre réponse.
Mr
Amroun
1
M r Bouabdaℓℓah
S amedi 10 N ovembre 2007
A nnée 2007/2008.
E xercice 5
Trouver la nature de la série qui a pour terme général, (k > 0 et α réel, donnés).
1. un =
2n + n3
kn
r
n2 + sin n
5. un =
n5 + cos n
kn
ch n
4. un = n
2. un =
√
α e− n
7. un = Log
10. un = k
2 + nα
1 + nα
8. un =
Log n
11. un =
n
n+1
3. un =
ch n + n sh n
n + en
6. un = Log
−1
1
1+ α
n
n2
k 1+ 2 +···+ n
9. un =
nα
α
nα + 1
12. un = k
n Log5 (n3 + 1)
en n!
nn
1
1
E xercice 6
Trouver la nature de la série qui a pour terme général,
nn
1.
n! en
1
3. e − 1 +
n
1.4.7 . . . (3n + 1)
2.
3n n!
n
.
E xercice 7
Étudier les séries numériques suivantes :
∞
X
(−1)n
1.
n(n + 1)
n=2
4.
∞
X
n=1
√
2.
∞
X
kn
n=2
n2 − 1 − n
cos nπ
n2
∞
X
k∈R
n
(−1) n
5.
2 +1
n=2
n
3.
∞
X
(−1)n
n + (−1)n
∞
X
(−1)n
n − Log n
n=2
6.
n=2
On donne la formule de Stirling, pour n infiniment grand :
n! ∼ nn e−n
√
2nπ.
On a aussi pour n infiniment grand, l’équivalent suivant :
1+
1 1 1
1
+ + + · · · + = γ + Log n
2 3 4
n
γ est appelée constante d’Euler et vaut à peu près 0,577 ... ...
Mr
Amroun
2
M r Bouabdaℓℓah