Nombres complexes
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Nombres complexes
Nombres complexes Le plan est muni d’un repère orthonormé direct (O, u , v ). Forme algébrique Tout nombre complexe peut s’écrire de manière unique sous la forme z = a + bi avec (a, b) ∈ 2, et i tel que i2 = −1. L’ensemble des nombres complexe est noté . 1 a est la partie réelle de z. Re(z) = (z + z ). 2 1 b est la partie imaginaire de z. Im(z) = (z − z ). 2i z = a − bi est le conjugué de z. Représentation graphique M(a,b) est l’image de z z = a + bi est l’affixe de M L’affixe du vecteur AB est z AB = zB − zA Module et argument a 2 + b 2 , représente la distance r = OM arg(z) est une mesure en radians de l’angle ( u , OM ) La distance AB est AB = |zB − zA| ( u , AB ) ≡ arg(zB − zA) [2π] |z| = Forme trigonométrique z = r(cosθ + isinθ), r = |z| ∈ *+, θ ≡ arg(z) ∈ Forme exponentielle z = reiθ r = |z| ∈ *+, θ ≡ arg(z) ∈ Réels, imaginaires purs z est réel ⇔ Im(z) = 0 ⇔ arg(z) ≡ 0 [π] z est un réel positif ⇔ Im(z) = 0 et Re(z) ≥ 0 ⇔ arg(z) ≡ 0 [2π] z est un réel négatif ⇔ Im(z) = 0 et Re(z) ≤ 0 ⇔ arg(z) ≡ π [2π] z est imaginaire pur ⇔ Re(z) = 0 ⇔ arg(z) ≡ π 2 [π] ©pa2011 Configurations z A + zB 2 Affixe du milieu M de [AB] zM = A, B et C sont alignés ⇔ zC − z A ∈ zB − z A C, A et B sont alignés dans cet ordre ⇔ zC − z A ∈ − zB − z A ABC est un triangle rectangle en A ⇔ zC − z A est imaginaire pur zB − z A ABC est un triangle direct rectangle en A ⇔ zC − z A est de la forme ki, k ∈ *+ zB − z A ABC est un triangle isocèle en A ⇔ |zB − zA| = |zC − zA| ABC est un triangle rectangle isocèle direct en A ⇔ zC − z A =i zB − z A ABC est un triangle équilatéral direct ⇔ π i zC − z A =e3 zB − z A Transformations Fonction complexe : → z z' → P Transformation du plan : P M ( z) M ' ( z' ) z’ = z + (a + bi) translation de vecteur a u + b v z’ = −z symétrie de centre O z’ = z réflexion de droite (x’x) z’ = − z réflexion de droite (y’y) z’ = kz, k ∈ * homothétie de centre O et de rapport k z’ = iz quart de tour direct z’ = eiθz rotation de centre O et d’angle θ z’ − zΩ = eiθ(z − zΩ) rotation de centre Ω et d’angle θ z’ = keiθz, k ∈ *+ similitude directe de centre O, de rapport k et d’angle θ z’ − zΩ = keiθ(z − zΩ), k ∈ *+ similitude directe de centre Ω, de rapport k et d’angle θ z’ = az + b, a ∈ *, b ∈ similitude directe de rapport |a| et d’angle arg(a) z’ = a z + b, a ∈ *, b ∈ similitude indirecte de rapport |a|. ©pa2011