TERMINALE S Nombres complexes Fiche de résumé
Transcription
TERMINALE S Nombres complexes Fiche de résumé
TERMINALE S Nombres complexes Fiche de résumé _______________________________________________________________ Il existe un ensemble noté C et appelé ensemble des nombres complexes, qui vérifie les propriétés suivantes : • L'ensemble C contient l'ensemble R des nombres réels ; • Il existe dans C une addition et une multiplication qui ont les mêmes propriétés que dans R ; • Il existe dans C un nombre complexe noté i tel que i²= -1 ; Forme algébrique z = a+ ib • Le réel a s'appelle la partie réelle de z, le nombre réel b s'appelle la partie imaginaire de z. • a = Re(z) et b = Im(z). • Un complexe est réel si et seulement si sa partie imaginaire est nulle. • Un complexe est imaginaire pur si sa partie réelle est nulle. • 0 est le seul nombre complexe qui est réel et imaginaire pur. • a + ib = a’ + ib’ équivaut à a = a’ et b = b’. • a + ib = 0 équivaut à a = 0 et b = 0 Affixe A tout point M de coordonnées (x,y) on associe le complexe x + iy , noté zM et appelé affixe de M. → → Pour tous points A et B, le vecteur AB a pour affixe z AB = zB - zA = (xB – xA) + i(yB – yA) Conjugué le conjugué de z = x + iy est le nombre complexe z = x - iy. • z est réel si et seulement si z = z • z est un imaginaire pur si et seulement si z = - z • z =z (-z) = - z • z = a + ib, avec a et b réels: z + z = a + ib + a - ib = 2a = 2Re(z) • z - z = a + ib - (a - ib) = a + ib - a+ ib = 2ib = 2iIm(z) • Re(z) = • z z = a² + b² z+ z • • 2 z + z’ = z + z’ z’ z’ z = z z- z Im(z) = zn = z 2i n z – z’ = z - z’ 1 1 z = z z × z’ = z × z’ TERMINALE S Nombres complexes Fiche de résumé _______________________________________________________________ Module • | z | = | a + ib | = a² + b² • |z|= z |-z | = |z | • |z × z’| = |z| × |z’| |zn| =|z|n • z’ |z’| z = |z| 1 1 z = |z| • AB = | zB - zA| Résolution de az² + bz + c = 0, avec a ,b , c réels et a non nul. Soit ∆ = b² - 4ac, b 2a -b + ∆ si ∆ > 0, deux solutions réelles 2a si ∆ = 0, une solution réelle est – -b - ∆ 2a -b + i -∆ si ∆ < 0, deux solutions complexes conjuguées et 2a Argument d’un nombre complexe non nul et -b – i -∆ 2a → → Dans le plan complexe (O, u , v ), soit le complexe z non nul, de point image M. → → Arg(z) = mesure en radian de l’angle orienté ( u ,OM) Soit z un complexe non nul • z est réel (z ∈ R ) si et seulement si arg(z) = 0 [π] π [π] 2 • z est imaginaire pur (z ∈ iR) si et seulement si arg(z) = • arg( z ) = - arg(z) [2π] arg(- z) = arg(z) + π [2π] • • arg(z1 × z2) = θ1 + θ2 = arg(z1) + arg(z2) modulo 2π arg(z²) =arg(z × z) = arg(z) + arg(z) = 2arg(z) [2π] z1 arg z = arg (z1) - arg (z2) [2π] 2 arg(zn) = n arg(z) [2π] 1 arg z = - arg (z2) [2π] 2 • Forme trigonométrique Soit z = a + ib un nombre complexe de module ρ et d’argumentθ, alors z = ρ (cos θ + i sin θ), Passage de la forme algébrique à la forme trigonométrique : cos θ = |az| d’où z = ρ(cos θ + i sin θ) b sin θ = |z| Passage de la forme trigonométrique à la forme algébrique: • a = ρ cos θ et b = ρ sin θ TERMINALE S Nombres complexes Fiche de résumé _______________________________________________________________ Angle orienté de vecteurs A, B, C, D étant des points distincts d’affixes respectives a, b , c, d alors → → d – c (AB , CD ) = arg b - a Notation exponentielle : cos θ + i sin θ = eiθ (eiθ) = e - iθ |eiθ|= 1 - eiθ = ei(θ + π) eiθ × eiθ’ = ei(θ + θ’) arg(eiθ) = θ eiθ = ei(θ - θ’) eiθ’ n (eiθ) = einθ Formule de Moivre d’où (cos θ + i sin θ)n = cos nθ + i sin nθ Transformations → • L'écriture complexe de la translation de vecteur w d’affixe b est z' = z + b. • L'écriture complexe de la rotation de centre Ω d’affixe ω et d’angle θ est z’ - ω = eiθ × (z - ω). • L'écriture complexe de l’homothétie de centre Ω d’affixe ω et de rapport k réel non nul est z’ - ω = k × (z - ω).