1 Généralités 2 Écriture exponentielle
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1 Généralités 2 Écriture exponentielle
1 ©Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2016-2017 Programme de colle n°2 de la semaine n°5 du 26/09 au 02/10 Nombres complexes et brevet de trigonométrie 1 1 Généralités 1. Écriture algébrique : z = x + iy avec x et y réels. On dit que z est l’affixe du point M de coordonnées (x, y). L’écriture algébrique de l’inverse z1 , est x−iy x2 +y 2 (on a multiplié par le conjugué). 2. Conjugué : z = x − iy. Propriétés. 3. Module : |z|2 = x2 + y 2 . Propriétés, lien avec le conjugué : zz = |z|2 . Le module d’un produit (resp. quotient) est le produit (resp. quotient) des modules. (⋆) Inégalité triangulaire, |z + z ′ | 6 |z| + |z ′ | . Cas d’égalité, caractérisation de cercles et de disques à l’aide du module. 2 Écriture exponentielle 1. Groupe des nombres complexes de module 1 noté U. On pose eiθ = cos θ + i sin θ. On montre que U = {eiθ | θ ∈ R}. Formules d’Euler : cos θ = eiθ + e−iθ 2 et sin θ = eiθ − e−iθ . 2i 2. Arguments d’un nombre complexe non nul Si z ∈ C, alors il existe des réels r > 0 et θ tels que : z = reiθ (écriture exponentielle). On note M le point d’affixe z. Alors • le nombre r est le module de |z| avec |z| = OM . • le réel θ est appelé un argument de z (pour z 6= 0), noté arg(z), c’est une mesure de −−→ → l’angle orienté (− u , OM ). Remarques : • le nombre complexe 0 n’admet pas d’arguments • un nombre complexe non nul admet une infinité d’arguments qui diffèrent d’un multiple de 2π. On appelle argument principal l’unique argument de ] − π, π]. • Attention, si z = reiθ avec r < 0, alors r n’est pas le module c’est −r et arg z = θ + π mod 2π. 3. Propriétés algébriques de «exponentielle iθ» : ′ ′ eiθ eiθ = ei(θ+θ ) et eiθ i(θ−θ ′ ) . ′ = e iθ e Formule de Moivre : (eiθ )n = einθ donc (cos θ + i sin θ)n = cos nθ + i sin nθ . On en déduit les propriétés multiplicatives de l’argument : arg(zz ′ ) = arg(z) + arg(z ′ ) et arg z = arg z − arg z ′ . z′ 4. Quelques utilisations de l’écriture exponentielle : • C’est une écriture adaptée aux problèmes conduisant à des produits ou des quotients de √ complexes. Par exemple, donner l’écriture algébrique de (1 + i 3)2014 . • Elle permet de retrouver les formules d’addition de cosinus et sinus en prenant les parties réelles et imaginaires de ei(a+b) = eia eib . Attention, les formules usuelles de trigonométrie sont à connaître et doivent se redémontrer très rapidement à partir des formules d’addition de cos et de sin. On pourra se reporter au brevet de trigonométrie.. 1. On pourra consulter le document à l’adresse suivante desaintar.free.fr/resumes/brevet_de_trigonometrie.pdf. 2 ©Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2016-2017 3 Quelques applications «algébriques» 1. Technique de l’angle moitié : 1 + eiθ = eiθ/2 (e−iθ/2 + eiθ/2 ) = eiθ/2 2 cos(θ/2). 2. Polynômes de Tchebychev : écriture de cos nx comme un polynôme en cos x. Par exemple, cos(3x) = 4 cos3 x − 3 cos x. 3. Linéarisation d’expressions trigonométriques (on transforme un produit en une somme). C’est utile par exemple pour calculer des intégrales ou des dérivées n-ièmes. Pn 4. Sommes trigonométriques : (⋆) simplification de k=0 cos(kx) (attention au cas x ≡ 0 mod 2π). 4 Résolutions d’équations algébriques 1. Racines n-ièmes d’un nombre complexe : On dit que r ∈ C est une racine n-ième d’un nombre complexe a si rn = a. (a) Les racines n-ièmes de l’unité (du nombre 1) sont donc les n solutions complexes 2 de l’équation z n = 1 : (⋆) Un = {e i2kπ n | k ∈ J0, n − 1K} . Exemples : U2 = {±1}, U3 = {1, j, j 2 }, U4 = {±1, ±i}. Cas des racines cubiques de l’unité : connaître sans hésiter les relations j=e i2π 3 , j 3 = 1, j = j 2 et 1 + j + j 2 = 0 . La somme des racines n-ièmes de l’unité est nulle (pour n > 2), interprétation en terme de centre de gravité. Remarque : les points ayant pour affixe les racines n-ièmes de l’unité forment un polygone régulier de centre 0. (b) Plus généralement, les racines n-ièmes d’un nombre complexe a = reiθ sont les n solutions de l’équation z n = a : 1 iθ rne n e i2kπ n , k ∈ J0, n − 1K . En particulier un nombre complexe, admet toujours une racine carrée (il y en a deux qui sont opposées). 2. Équations du second degré : écriture algébrique des racines carrées. Relation coefficients racines : on retiendra que (X − u)(X − v) = X 2 − (u + v) X + |{z} uv = X 2 − SX + P . | {z } P S Ainsi en lisant les coefficients d’un polynôme, on lit la somme et le produit de ses racines. 5 Géométrie 1. Sensibilisation à la notion de dictionnaire : correspondance entre les langages algébrique et géométriques En particulier, zD − zC CD zB − aA = AB et (⋆) arg zD − zC zB − zA −−→ −−→ = (AB, CD) 2. Pour cette démonstration de cours, on ne demandera pas à l’étudiant de montrer que ces solutions fournissent bien n racines distinctes. 3 ©Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2016-2017 (attention l’ordre des lettres est inversé). On en déduit que arg zv zu → → = (− u,− v). → → Ainsi deux vecteurs non nuls − u et − v sont colinéaires (resp.orthogonaux) ssi arg (resp. arg zzuv = π2 [π]). zv zu = 0[π] 2. Notion de centre de gravité d’un polygone A1 . . . An : c’est l’unique point G tel que −−→ −−→ −−→ − → GA1 + GA2 + · · · + GAn = 0 . G est un point d’équilibre ou point moyen, son affixe est la moyenne des affixes des sommets. Cas du milieu I d’un segment [AB], zI = zA +zB +zC . 3 zA +zB 2 et du centre G d’un triangle ABC, zG = 3. Écriture complexe des similitudes directes. Une similitude est une transformation qui conserve les rapports des distances. Elle est dite directe lorsque qu’elle conserve en plus l’orientation des angles. Exemples : → → • translation de vecteur − u : f (z) = z + a où a est l’affixe de − u • rotation de centre Ω(ω) et d’angle θ : f (z) − ω = eiθ (z − ω) • homothétie de centre Ω et de rapport k > 0 : f (z) − ω = k(z − ω) iπ Application : ABC est équilatéral direct ssi c − a = e 3 (b − a). Classification des similitudes directes : toute similitude directe f est de la forme f (z) = az + b avec a, b ∈ C et a 6= 0. • Si a 6= 1, f est une translation • Sinon, f admet un point fixe ω et est de la forme f (z) − ω = keiθ (z − ω) où k = |a| et θ = arg(a). C’est alors la composée de l’homothétie de centre Ω et de rapport k avec la rotation de de centre Ω et d’angle θ. Remarque : la symétrie orthogonale par rapport à l’axe des abscisses est codée par z 7→ z. Ce n’est pas une similitude directe, elle renverse l’orientation des angles. 6 Exponentielle complexe Si z = x + iy, on pose ez = ex eiy . Module, argument, propriété de morphisme, équation ez = a.