Filtres en électrocinétique

Filtres du 1er ordre :
H=
• Passe-bas
H0
1 + jx
x=
ω
ωc
H0 = 1 pour les filtres à base de R, L et C.
Gmax = H0
G(x) = √
1
1 + x2
ϕ(x) = − arctan x
ϕ
GdB
L
log x
0
R
∆ω = [0, ωc ]
(rad)
0
−1
+1
log x
−20dB/décade
1
ωc = RC
ωc = R
L
C
−3
R
−π/4
−π/2
• Passe-haut
H = H0
jx
H0
=
1
1 + jx
1 + jx
1
G(x) = q
1+
Gmax = H0
1
x2
GdB
C
ϕ
∆ω = [ωc , +∞[
(rad)
log x
0
R
π
− arctan x
2
ϕ(x) =
π/2
+20dB/décade
1
ωc = RC
ωc = R
L
R
−3
L
π/4
log x
0
−1
Filtres du 2ème ordre :
H =
• Passe-bas
1
Q > √ ⇒ ωr = ω0
2
ω
ω0
x=
1
1
Lω0
1
ω0 = √
, H0 = 1 et
=Q=
=
pour les filtres RLC.
2σ
R
RCω
LC
0
;
1
G(x) = q
(1 − x2 )2 +
H0
x
− x2
1+jQ
+1
: résonance si (1 − x2 )2 +
x2
Q2
x2
a un minimum, d’où : (i)
Q2
r
1
Q
(≈ Q si Q >> 1 : surtension, danger !)
1−
(→ x ∼ 1, passe-bas ≈ passe-bande), Gmax = q
1
2Q2
1 − 4Q
2
1
(ii) Q < √ ⇒ pas de résonance ; pente à −40 dB/décade → coupure + franche que le passe-bas du 1er ordre, mais pulsation de
2
1
x
1
coupure à -3 dB nettement + compliquée ! ϕ = − arctan
N.B. (1) ωr et Gmax dépendent de
= σ ! (2) Si Q = √
Q(1 − x2 )
2Q
2
1
(⇔ σ = √ ), filtre de Butterworth : pas de max pour G, et les 1ères dérivées pour ω = 0 sont nulles → gain constant dans la bande
2
passante...
GdB
Q> √12
ϕ
L
log x
0
R
(rad)
log x
0
Q< √12
−40dB/décade
1
ω0 = √LC
−3
Q< √12
C
Q> √12
−π/2
−π
x
jQ
RIm
1
G(x) = q
=
: résonance en intensité pour
1+
−
Um
1 + Q2 (x − x1 )2
Gmax
1
1
1
ωr = ω0 (⇔ x = 1) avec Gmax = 1 Fréquences de coupure ωc : G(xc ) = √ = √ → xc −
= ± avec xc > 0, d’où
xc
Q
2
2
r
r
−1 1
1
1
1
1
1
ω0
R
xc1 =
+
+ 4 et xc2 =
+
+ 4 ; ∆x = xc2 − xc1 = , i.e. ∆ω =
=
: filtre d’autant plus sélectif que
2Q 2 Q2
2Q 2 Q2
Q
Q
L
√
Q élevé (⇔ R faible) ; ω0 = ω1 ω2
Gmax = G(ω0 ) = 1 donc GdB (x = 1) = 0 quel que soit Q
On a 2 types de graphiques
: (i)
H = H0
• Passe-bande
x
jQ
=
x2
H0
1 + jQ(x − x1 )
2
si Q > 1 raisonance aigüe, les asymptotes se coupent au-dessus de Gmax (ii) si Q < 1, se coupent au-dessous ϕ = arctan Q 1−x
x
1
N.B. (1) ωr et Gmax indépendants de
= σ ! (2) R, L, C + 2 contraintes (ω0 et Q) → on peut choisir R très faible afin que le courant
2Q
de sortie soit négligeable (comme on le suppose pour l’étude du filtre !).
C
1
ω0 = √LC
ϕ
L
GdB
+20dB/décade
(rad)
log x
0
+π/2
log x
Q<1
R
0
Q>1
−π/2
• Passe-haut (circuit RC-L)
H = H0
−x2
H0
=
x
j
1+jQ
− x2
1 − Qx
−
1
x2
G(x) = q
1
1
Q2 x2
+ (1 −
1 2
x2 )
ϕ=
π
x
−arctan
2
Q(1 − x2 )
1
π
⇒ gain symétrique du passe-bas 2ème ordre par rapport à (Oy) (résonance si Q > √ ) et phase translatée de + / passe-bas.
2
2