Nombres complexes

Nombres complexes
Le plan est muni d’un repère orthonormé direct (O, u , v ).
Forme algébrique
Tout nombre complexe peut s’écrire de manière unique sous la forme z = a + bi avec
(a, b) ∈ 2, et i tel que i2 = −1.
L’ensemble des nombres complexe est noté .
1
a est la partie réelle de z. Re(z) = (z + z ).
2
1
b est la partie imaginaire de z. Im(z) = (z − z ).
2i
z = a − bi est le conjugué de z.
Représentation graphique
M(a,b) est l’image de z
z = a + bi est l’affixe de M
L’affixe du vecteur AB est z AB = zB − zA
Module et argument
a 2 + b 2 , représente la distance r = OM
arg(z) est une mesure en radians de l’angle ( u , OM )
La distance AB est AB = |zB − zA|
( u , AB ) ≡ arg(zB − zA) [2π]
|z| =
Forme trigonométrique
z = r(cosθ + isinθ), r = |z| ∈ *+, θ ≡ arg(z) ∈ Forme exponentielle
z = reiθ r = |z| ∈ *+, θ ≡ arg(z) ∈ Réels, imaginaires purs
z est réel
⇔ Im(z) = 0
⇔ arg(z) ≡ 0 [π]
z est un réel positif
⇔ Im(z) = 0 et Re(z) ≥ 0
⇔ arg(z) ≡ 0 [2π]
z est un réel négatif
⇔ Im(z) = 0 et Re(z) ≤ 0
⇔ arg(z) ≡ π [2π]
z est imaginaire pur
⇔ Re(z) = 0
⇔ arg(z) ≡
π
2
[π]
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Configurations
z A + zB
2
Affixe du milieu M de [AB]
zM =
A, B et C sont alignés
⇔
zC − z A
∈
zB − z A
C, A et B sont alignés dans cet ordre
⇔
zC − z A
∈ −
zB − z A
ABC est un triangle rectangle en A
⇔
zC − z A
est imaginaire pur
zB − z A
ABC est un triangle direct rectangle en A
⇔
zC − z A
est de la forme ki, k ∈ *+
zB − z A
ABC est un triangle isocèle en A
⇔ |zB − zA| = |zC − zA|
ABC est un triangle rectangle isocèle direct en A
⇔
zC − z A
=i
zB − z A
ABC est un triangle équilatéral direct
⇔
π
i
zC − z A
=e3
zB − z A
Transformations
Fonction complexe : → z z'
→ P
Transformation du plan : P
M ( z) M ' ( z' )
z’ = z + (a + bi)
translation de vecteur a u + b v
z’ = −z
symétrie de centre O
z’ = z
réflexion de droite (x’x)
z’ = − z
réflexion de droite (y’y)
z’ = kz, k ∈ *
homothétie de centre O et de rapport k
z’ = iz
quart de tour direct
z’ = eiθz
rotation de centre O et d’angle θ
z’ − zΩ = eiθ(z − zΩ)
rotation de centre Ω et d’angle θ
z’ = keiθz, k ∈ *+
similitude directe de centre O, de rapport k et d’angle θ
z’ − zΩ = keiθ(z − zΩ), k ∈ *+
similitude directe de centre Ω, de rapport k et d’angle θ
z’ = az + b, a ∈ *, b ∈ similitude directe de rapport |a| et d’angle arg(a)
z’ = a z + b, a ∈ *, b ∈ similitude indirecte de rapport |a|.
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