Nombres complexes — diaporama

Nombres complexes
janvier 2017
1/23
Nombres complexes
On appelle ensemble des nombres complexes et on note C
l’ensemble R2 muni des deux opérations suivantes
∀(x, y) ∈ R2 , ∀(x0 , y0 ) ∈ R2 ,
addition
déf.
(x, y) + (x0 , y0 ) = (xx0 , yy0 )
déf.
(x, y) × (x0 , y0 ) = (xx0 − yy0 , xy0 + x0 y)
multiplication
2/23
Partie réelle, partie imaginaire
Soit z un nombre complexe. Il existe un unique couple (x, y) de
réels tels que z = x + iy.
Le réel x est la partie réelle de z notée Re(z) et y est sa partie
imaginaire, notée Im(z).
Si Re(z) = 0, on dit que z est un imaginaire pur et si Im(z) = 0
on dit que z est un réel.
On identifie le sous-ensemble {(x, 0) avec x ∈ R} de R2 avec
R. L’ensemble des imaginaires purs est noté iR.
3/23
Propriété des parties réelles et imaginaires
Soit (z, z0 ) ∈ C2
Re(z+z0 ) = Re(z)+Re(z0 )
et
Im(z+z0 ) = Im(z)+Im(z0 )
et
Im(λ z) = λ Im(z)
Si λ ∈ R alors
Re(λ z) = λ Re(z)
4/23
Cas d’égalité
Soit (x, x0 , y, y0 ) ∈ R4 :
x + i y = x 0 + i y0
⇐⇒
x = x0
et
y = y0
5/23
Conjugué d’un complexe
Soit z = x + iy ∈ C, avec (x, y) ∈ R2 .
déf.
On appelle conjugué de z et on note z le complexe z = x − iy.
6/23
Conjugaison et opérations
Soit (z, z0 ) ∈ C2
z=z
z + z0 = z + z0
zz0 = zz0
zn = zn
(n ∈ N)
1 1
=
z
z
7/23
Forme algébrique de l’inverse
Si z ∈ C∗ , z = x + iy avec (x, y) ∈ R2 , alors
y
1
z
x
=
= 2
−i 2
2
z
zz x + y
x + y2
8/23
Soit z ∈ C :
z+z
z−z
et
Im(z) =
;
2
2i
• z est réel si et seulement si z = z et z est imaginaire
• Re(z) =
pur si et seulement si z = −z.
9/23
Coordonnées polaire vs. cartésiennes.
y
y
M
ρ
M0
θ
O
x
x
10/23
Coordonnées polaires
Soit z = x + iy ∈ C, avec (x, y) ∈ R2 .
Il existe un couple (ρ, θ ) de réels tels que
ρ ∈ R+ ,
θ ∈ R,
x = ρ cos θ
et
y = ρ sin θ
• Le réel ρ est unique : ρ2 = x2 + y2 . C’est le module de z.
• Si z = 0 alors θ est quelconque dans R.
• Si z 6= 0 alors θ est défini à 2π près. Chaque valeur possible
de θ est un argument de z. L’unique réel θ0 ∈ ] −π ; π ]
vérifiant la relation précédente s’appelle l’argument
principal de z. L’ensemble des arguments de z est
{θ0 + 2kπ , avec k ∈ Z}
11/23
Notation exponentielle
Soit z ∈ C∗ . Il existe un couple (ρ, θ ) ∈ R+ × R tel que
z = ρeiθ = ρ(cos θ + i sin θ )
déf.
12/23
D’après ce qui précède, on a la relation fondamentale
ei(α+β ) = eiα eiβ
et donc
1
eiα
i(α−β )
=
e
eiα
eiβ
iα n
inα
e
=e
(n ∈ Z)
e−iα =
13/23
Cas d’égalité
Soit (z, z0 ) ∈ C2 , de notations exponentielles z = ρeiα et
z0 = ρ0 eiβ
z = z0
⇐⇒
ρ = ρ0
et
∃k ∈ Z, α = β + 2kπ
14/23
Propriétés du module
Soit (z, z0 ) ∈ C2 :
zz0 = |z| z0 |z| = 0 ⇐⇒ z = 0
|Re (z)| ¶ |z|
|z|
z
0 = 0
z
|z |
|z| = |z|
|Im (z)| ¶ |z|
15/23
Inégalité triangulaire
Si z et z0 sont deux complexes, alors
z + z0 ¶ |z| + z0 et
|z| − z0 ¶ z − z0 16/23
Soit (a, b, c) ∈ C3 :
|c − a| ¶ |b − a| + |c − b|
17/23
Interprétation de l’inégalité triangulaire
C
AB ¶ AC + CB
A
B
La ligne droite AB est un chemin plus court
entre A et B que la ligne brisée ABC.
18/23
Soit (z, z0 ) ∈ (C∗ )2 .
On note parfois arg(z) un argument de z. Dans ce cas
[2π ]
• arg(zz0 ) = arg(z) + arg(z0 )
• arg(az) = arg(z)
[2π ]
• arg(az) = π + arg(z)
• arg(zn ) = n arg(z)
• arg(1/z) = − arg(z)
si a ∈ R∗+
[2π ]
[2π ]
[2π ]
• arg(z/z0 ) = arg(z) − arg(z0 )
• arg(z) = − arg(z)
si a ∈ R∗−
[2π ]
[2π ]
19/23
Exponentielle complexe
Soit z ∈ C. On note z = x + iy avec (x, y) ∈ R.
On définit l’exponentielle de z par
déf.
exp(z) = exp(x) eiy = ex (cos(y) + i sin(y))
20/23
Soit z et z0 deux complexes. On a
exp(z + z0 ) = exp(z) exp(z0 )
21/23
Formules d’Euler
Soit θ ∈ R,
cos θ =
eiθ + e−iθ
2
sin θ =
eiθ − e−iθ
2i
22/23
Formules de Moivre
Soit θ ∈ R. On a
einθ = (cos θ + i sin θ )n = cos(nθ ) + i sin(nθ )
ou de manière équivalente
”
—
cos(nθ ) = Re (cos θ + i sin θ )n
”
—
sin(nθ ) = Im (cos θ + i sin θ )n
23/23