ROC -terminale S
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ROC -terminale S
2 Géométrie Théorème Module d’un produit, d’un quotient de nombres complexes Soient les nombres complexes z et z0 Aolrs on a : 0 0 • |zz | = |z| × |z | z |z| • 0 = 0 avec z0 , 0 z |z | Démonstration : |zz0 |2 = = = = zz0 × zz0 zz0 × zz0 zz × z0 z0 |z|2 × |z0 |2 Le module d’un nombre complexe est positif, on en déduit donc : |zz0 | = |z| × |z0 | Supposons zz0 = 1 alors on a |zz0 | = |z| × |z0 | = 1 1 1 et pour z0 , 0 : 0 = 0 z |z | 1 |z| 1 On a alors : z × 0 = |z| × 0 = 0 z z |z | D’où le résultat. Théorème Argument du produit, du quotient d’un nombre complexe Soient z et z0 deux nombres complexes. Alors on a : 0 0 • arg(zz z ) = arg(z) + arg(z ) + 2kπ où k ∈ Z • arg 0 = arg(z) − arg(z0 ) + 2kπ avec k ∈ Z z Démonstration : zz0 = = = = r(cos a + i sin b) × r0 (cos a0 + i sin b0 ) rr0 × (cos a + i sin b) × (cos a0 + i sin b0 ) rr0 [(cos a cos a0 − sin b sin b0 ) + i(cos a sin b0 + sin b cos a0 )] rr0 [cos(a + a0 ) + i sin(a + a0 )] 19 on a alors arg(zz0 ) = arg(z) + arg(z0 ) + 2kπ avec k ∈ Z 0 0 0 Si zz0 = 1 alors ! arg(zz ) = arg (z) + arg(z ) = 2kπ avec k ∈ Z 1 d’où arg 0 = −arg(z0 ) + 2kπ avec z0 , 0 z z Conclusion : arg 0 = arg(z) − arg(z0 ) + 2kπ avec k ∈ Z z 20