Corrigé du devoir maison : Droite d`Euler

Seconde
Corrigé du devoir maison : Droite
d'Euler
Janvier 2009
Figure de l'énoncé
A) Caractérisation vectorielle de l'orthocentre :

OB + 
OH = 
OA + 
OC
1) 
OB + 
OC = 
OA ' + 
A'B + 
OA ' + 
A ' C (d'après la relation de Chasles)


Or, A' est le milieu de [BC], d'où : A ' B + A ' C = 
0
Donc : 
OB + 
OC = 2
OA '
2) 
OB + 
OH = 
OA + 
OC
= 
OA + 2
OA '


Or, OH = OA + 
AH (relation de Chasles)


D'où : OA + AH = 
OA + 2
OA '
Donc : 
AH = 2
OA '
3) A' milieu de [BC]
O centre du cercle circonscrit au triangle ABC
O : point de concours des médiatrices de ABC.
D'où : (OA') est une médiatrice du triangle ABC
Or, par définition, on sait que la médiatrice d'un segment est perpendiculaire à ce
segment en son milieu. Alors, (OA') ⊥ (BC)
Comme 
AH = 2
AH et 
OA ' , 
OA ' sont deux vecteurs colinéaires
d'où :
(AH) // (OA')
Propriété : Si deux droites sont parallèles, alors toute perpendiculaire à l'une est
aussi perpendiculaire à l'autre.
Donc : (AH) ⊥ (BC)
4) On montre de même que 
BH = 2
OB ' et (OB') ⊥ (AC) avec (BH) // (OB')
Donc : (BH) ⊥ (AC)
5) (AH) est la droite qui passe par le sommet A du triangle ABC et qui est
perpendiculaire au côté [BC]. C'est donc la hauteur issue de A de ce tiangle.
Même chose pour (BH) qui est la hauteur issue de B du triangle ABC.
Propriété : Dans un triangle, les trois hauteurs sont concourantes et le point de
concours est l'orthocentre.
Comme (AH) et (BH) se coupent en H,
Donc : H est l'orthocentre du triangle ABC
B) Droite d'Euler :
G centre de gravité du triangle ABC
Résultat préalable : Montrons que 
GA = −2
GA '
2 
G vérifie : 
AG =
AA '
3
(se démontre facilement en partant de 
GA + 
GB + 
GC = 
0 et en introduisant A'


dans les vecteurs GB et GC par la relation de Chasles)
2 
2 

( A'G + 
GA =
GA )
A'A =
3
3
2 
2

A'G
GA –
GA = 
3
3
1 
2
A'G
C'est-à-dire :
GA = 
3
3

GA = 2
A'G
Donc : 
GA = −2
GA '
6) 
GO + 
GO + 
OA = -2( 
OA ' )
D'où : 3
GO = −
OA −2
OA '
Donc : 3
OG = 
OA + 2
OA '
7) Or, 
OH = 
OA + 2
OA '
Donc : 3
OG = 
OH
8) Cas ABC pas équilatéral :
On a O≠ G , c'est-à-dire 
OG ≠ 
0

Alors, O et H sont distincts et OG et 
OH sont colinéaires avec une extrémité en
commun,
Donc : O, G et H sont alignés
9) Si ABC equilatéral, G = H et alors O, G et H sont confondus