Produit vectoriel

1994-95
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Produit vectoriel et produit scalaire
Titre de la leçon (n°44 en 1994): Applications du produit scalaire et du produit vectoriel dans
l'espace orienté: calculs de distances, angles…
C'est une leçon d'exemples. On va développer quelques thèmes de façon théorique, mais
chacun se terminera par un ou deux exercices numériques. Ecrire sur le tableau en début de leçon que
toutes les coordonnées sont prises en bases orthonormée, et que cette base est directe chaque fois
qu'on parle de produit vectoriel.
On peut donner en début de leçon un tétraèdre ABCD par les coordonnées de ses sommets, et
appliquer chaque méthode décrite à la détermination de certains éléments de ce tétraèdre.
Thème 1: Distance entre deux droites non coplanaires et perpendiculaire commune.
→
Problème: On donne des droites d (passant par A et de vecteur directeur unitaire V ) et d' (passant par
→
B et de vecteur directeur unitaire W). Déterminer la distance de d à d', ainsi que la perpendiculaire
commune aux deux droites.
→ →
→
→
Solution: Le vecteur V W est orthogonal à V et à W, donc il est parallèle à la perpendiculaire
→
commune HK. Nous le divisons par sa norme λ pour avoir un vecteur unitaire u . Nous avons:
→
→
→
→
 → →  →
(α) AB = AH + HK + KB = AH V + HK u + KB.W.

→ →
→ →
→
Les vecteurs V et W sont orthogonaux à u , donc HK = AB. u et par conséquent
→
→ →→
→ →
HK = (AB. u ) u et HK = |AB. u |.
Il nous reste à construire les points H et
K. Prenons le produit scalaire de la relation α par
→ →
les vecteurs V et W, nous obtenons:
→ →   →→
V .AB = AH - BK ( V .W)
→ →  →→ 
W.AB = AH ( V .W) - BK


C'est à dire un système linéaire des inconnues AH et BK. Il a une unique solution puisque son
→→
déterminant est 1 – ( V .W)2 > 0.
Application numérique: Déterminer la distance des arètes AC et BD du tétraèdre ABCD.
Thème 2: Equations de plans.
Problème: Déterminer une équation d'un plan ∏.
→
Solution: Soit A un point de ∏, et V un vecteur orthogonal à ∏. Le point M est dans ∏ si et
→ →
→ →
→ →
→
seulement si AM. V = 0, ou encore si OM. V = OA. V . Si (a,b,c) sont les coordonnées de V ,
(xA,yA,zA) celles de A, et (x,y,z) celles de M, ceci s'écrit
ax + by + cz = axA + byA + czA
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Application numérique: Déterminer des équations des plans des faces ABC et ABD du tétraèdre.
Déterminer l'angle du dièdre (AB,ABC,ABD).
→
→
Pour avoir des vecteurs normaux V et W aux faces ABC et ABD, on prend les produits
→ →
→ →
vectoriels AB AC et AB AD. L'angle du dièdre est (par définition) l'angle des deux vecteurs
normaux aux plans ABC et ABD; on le calcule en calculant son cosinus au moyen du produit scalaire.
Remarque 1: De façon générale si ax + by + cz = d est l'équation d'un plan P, alors le vecteur de
coordonnées (a,b,c) est orthogonal à P. En effet quels que soient les points M(x,y,z) et N(x',y',z') de P,
on a ax + by + cz = ax' + by' + cz', ce qui donne a(x–x') + b(y–y') + c(z–z') = 0; et cette relation
→
signifie que le vecteur MN est orthogonal au vecteur de coordonnées (a,b,c).
Remarque 2: On peut aussi déterminer la distance
d'un point P au plan ∏(ax + by + cz = d).
→
→
→
Pour cela on écrit (figure) PM = PH + HM,
→
et en notant V le vecteur unitaire normal à ∏ dont
→ → → →
les coordonnées sont (a,b,c), on a PM. V = PH. V .
→ →
Donc PH √
  a2 +b
  2+c
 2 = |PM. V |. Et puisque
→ → → → → →
→ →
PM. V = OM. V – OP. V = d – OP. V ,
on obtient PH √
  a2 +b
  2+c
 2 = |axP+byP+czP–d|
Application numérique: Calcul de la distance de D au plan ABC, dont on a déterminé l'équation
précédemment.
Thème 3: Aires et volumes.
Problème: Déterminer l'aire d'un triangle, et le volume d'un tétraèdre.
Solution: Pour calculer l'aire du triangle ABC,
construisons le parallèlogramme ABQC. Son aire
→ →
est α = AB AC sin (AB,AC) (ce sinus est positif,
puisque c'est le sinus d'un angle de l'espace), c'est à
→
dire la norme du produit vectoriel des vecteurs AB et
→
AC. Et α est le double de l'aire du triangle.
1 α
Le volume du tétraèdre ABCD est v = 3 2 DH.
→
Notons V un vecteur unitaire normal au plan ABC. On a
→ → → → → → → →
DA. V = DH. V + HA. V = DH. V .
→ →
→
Donc DH = |DA. V |. Pour avoir V , on divise le vecteur
→ →
AB AC par sa norme α. On obtient donc
→ →
α → AB AC
1 → → →
v = 6 |DA. α | = 6 |DA.(AB AC)|
→ →
→
Ainsi v est le sixième de la valeur absolue du produit mixte des vecteurs AB, AC et AD.
Application numérique: Calculer l'aire de la face ABC et le volume du tétraèdre ABCD donné au
départ.
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Thème 4: Projection d'un point sur une droite ou sur un plan.
Problème: Trouver la projection orthogonale d'un
point P sur une droite Δ (définie par un point A et un
→
vecteur unitaire V ). Trouver la projection orthogonale
de P sur un plan ∏ (défini par un point A et deux
→ →
vecteurs V et W).
→ →
→  → →
Solution: Nous avons AP = AH + HP = AH V + HP ,
→ → 
→
→
→ →→
donc AP. V = AH et AH = AH V = (AP. V ) V .
→ →
De même si V et W forment une base orthonormée du
plan ∏, nous avons
→
→
→ →
AP = x V + y W + HP
→ →
→ →
D'où x = AP. V et y = AP.W , ce qui donne
→
→ →→
→ →→
AH = (AP. V ) V + (AP.W)W
Et on donne une nouvelle application numérique
dans le tétraèdre ABCD donné précédemment.
Thème 5: Rotations dans l'espace.
Problème: Donner les formules de la rotation d'angle ω autour de l'axe passant par l'origine O, et
→
définie (en direction et en sens) par le vecteur unitaire V .
Solution: Regardons d'abord le cas où ω = π/2.
D'après le thème 4, la projection H de P sur l'axe Δ, est
→
→ →→
donnée par OH = (OP. V ) V .
→ →
→ →→
Donc HP = OP – (OP. V ) V . L'image P' de P,
→
est obtenue en faisant tourner le vecteur HP de π/2
→ → →
autour de Δ, elle est donnée par la formule HP' = V HP.
→
→
En effet les vecteurs HP et HP' sont de même longueur et perpendiculaires à Δ; et puisque le repère
→→ →
→
→
→
( V ,HP,HP') est direct, l'angle de HP et de HP' dans le plan perpendiculaire à Δ orienté par V , est égal
à +π/2.
→
→ →→ → →
→ →→
→ →→ → →
On en déduit OP' = (OP. V ) V + V (OP – (OP. V ) V ) = (OP. V ) V + V OP
Pour avoir le point Pω image de P par la rotation d'angle ω, on écrit
→
→
→
HP ω = cos ω HP + sin ω HP'.
Thème 6: Mouvements à accélération centrale.
Problème: Montrer que si M(t) est un point mobile au cours du temps de façon que son accélération
→
→
d2M
soit centrale ie colinéaire à OM , alors le mouvement est plan. (On suppose M(t) C∞ ).
2
dt
4
→
→ →
→
→
→ dM
→ d2M
→
→
d M dM
Solution: La dérivée de C = OM dt est dt dt + OM
=
0
.
Donc
C est
dt2
constant.
→ →
→
Si C ≠ 0 , le mouvement se fait dans le plan passant par O et perpendiculaire à C .
→
→ →
→
OM
Si C = 0 et si pour un t0 on a M(t0) ≠ O , on considère u (t) = OM . On a alors :
→
→
→ dM
→ dM 2 OM.
→
→
→
→
dt
du
dt →
dM
dt = OM - 2(OM)3 OM = 0 , car les vecteurs OM et dt sont colinéaires. Donc u est
constant et le mouvement est rectiligne.
Remarque finale: Cette liste de thèmes est non limitative. Mais compte tenu du fait qu'il faut parler
de distances et d'angles (et probablement aussi de volumes et d'aires) la plupart d'entre eux ne peuvent
guère être omis. L'avant dernier me semble intéressant (même s'il est difficile) car il est le seul à faire
intervenir l'orientation.
Noter que ces thèmes ont été écrits dans un ordre arbitraire (sauf 4 et 5).