I. Vecteurs et translation

J'ai perdu la direction et le sens.
Je ne sais pas tenir la distance.
Amel Bent « Le droit à l’erreur » 2004
I. Vecteurs et translation
1. Définition
Un vecteur u est caractérisé par :
Une direction, un sens, une longueur
Si AB est un représentant du vecteur u , alors :
- La direction du vecteur u est la direction de la
droite (AB),
- Le sens du vecteur u est le sens de A vers B,
- La longueur du vecteur u est la longueur AB.
2. Remarque
Un vecteur est le représentant d’une translation.
La translation qui transforme A en B est appelée translation de vecteur AB
On appelle vecteur nul le vecteur dont l’origine est confondue avec l’extrémité : AA = 0
3. Egalité de vecteurs
a. propriété
ABCD sont quatre points du plan.
Dire que AB = CD signifie que :
La translation qui transforma A en B transforme C en D.
Le quadrilatère ABDC est un parallélogramme éventuellement aplati.
Les vecteurs AB et CD ont la même direction, le même sens, la même longueur.
b. propriété
Si AB = CD , alors les segments [AD] et [BC] ont même milieu
Si deux segments [AD] et [BC] ont même milieu alors AB = CD et AC = BD
3ème
1
4. Somme de vecteurs
a. Propriété
A, B et C sont trois points du plan. La translation de vecteur AB suivie de la translation de
vecteur BC est la translation de vecteur AC .
b. Définition
A, B et C sont trois points du plan. On dit que le vecteur AC est la somme des vecteurs AB et
BC . On écrit alors : AB + BC = AC ( Relation de Chasles)
c. Remarques
AB + 0 = 0 + AB = AB
AB + BA = AA = 0 . Le vecteur BA est l’opposé du vecteur AB . Il est noté − AB
Construction de la somme de deux vecteurs.
AB + AC = AB + BD = AD
Remarque : on appelle cette construction la règle du parallélogramme
3ème
2
II. Composée de deux symétries centrales
1. Propriété
I et J sont deux points du plan.
La composée de la symétrie de centre I suivie de la symétrie de centre J est la translation de
vecteur IJ + IJ , noté 2IJ .
III. Coordonnées d’un vecteur et
translation
1. Exemple
Pour aller de E à F on effectue :
une translation de 3 unités dans le sens horizontal
positif ;
suivi d’une translation de 2 unités dans le sens vertical
négatif.
On dit que :
EF a pour coordonnées (3 ;-2)
De même AB a pour coordonnées (-3 ;1)
2. Propriété
Une translation dans le sens de l’axe correspond à une coordonnée positive.
Une translation dans le sens contraire de l’axe correspond à une coordonnée négative.
IV. Vecteurs égaux
1. Propriété
Dire que deux vecteurs sont égaux revient à dire qu’ils représentent la même translation ou encore
qu’ils ont les mêmes coordonnées.
2. Exemple :
EF et KL sont deux vecteurs égaux.
3ème
3
V. Coordonnées de points et de vecteurs
1. Propriété
Dans le plan muni d’un repère (O, I, J) , si deux points A et B ont pour coordonnées respectives
( x A ; y A ) et ( xB ; y B ) , alors le vecteur AB a pour coordonnées ( xB − x A ; y B − y A )
2. Exemple
Dans le plan muni d’un repère (O, I, J) , on donne les points A (3 ;-2) et B(-5 ;1)
x B − x A = −5 − 3 = −8
Alors
d’où AB ( −8;3)
y B − y A = 1 − ( −2) = 3
3. Propriété
Dans le plan muni d’un repère (O, I, J) , si deux points A et B ont pour coordonnées respectives
x + x y + yB
( x A ; y A ) et ( xB ; y B ) , alors le milieu M du segment [AB] a pour coordonnées ( A B ; A
).
2
2
4. Exemple
Dans le plan muni d’un repère (O, I, J) , on donne les points A (3 ;5) et B(-1 ;1)
Alors les coordonnées du milieu M du segment [AB] sont :
xA + xB 3 + (−1)
=
=1
2
2
d’où M(1 ;3).
y A + yB 5 + 1
=
=3
2
2
VI. Distance de deux points dans un repère orthonormé
1. Propriété
Dans le plan muni d’un repère orthonormé (O, I, J) , si deux points A et B ont pour coordonnées
respectives ( x A ; y A ) et ( xB ; y B ) , alors la distance entre A et B est :
AB = ( xB − x A ) 2 + ( y B − y A ) 2
3ème
4