Troisieme Vecteurs − Feuille d`exercices n°1

Troisieme ─ Vecteurs − Feuille d’exercices n°1
Cours (à recopier sur le cahier)
I ) Translation
Définition n°1 :
Une translation est une transformation qui déplace rectilignement un objet d’un point A à un point B, en
ligne droite.
Définition n°2 :
Si une translation envoie un objet d’un point A à un point B, on dit qu’il s’agit de la translation de
→
vecteur AB . Ce vecteur est donc caractérisé par une longueur (la longueur AB), une direction (la
droite (AB), et un sens (le sens de la flèche : le déplacement se fait de A vers B, pas de B vers A).
→
A
AB
B
Faire l’ exercice n°1 de cette feuille.
Propriété n°1
→
Dans tous les cas, pour construire l’image d’un point A par une translation de vecteur BC , on est
amené à construire le quatrième point d’un parallélogramme dont deux côtés consécutifs sont AB et
BC
Faire l’exercice n°2 de cette feuille
II ) Opérations sur les vecteurs
Définition n°3
→ →
→
AB + CD signifie appliquer la translation de vecteur AB , puis, à partir de l’endroit où on est arrivé,
→
appliquer la translation de vecteur CD .
C
B
A
A’
B’
D
Définition n°4
→ →
→
→
AB = A’B’ signifie que les deux translations (celle de vecteur AB et celle de vecteur A’B’) sont les
mêmes : elles ont la même longueur, la même direction, et le même sens.
Propriété n°2
→ →
Si AB = CD , alors ABDC est un parallélogramme.
Propriété n°3
→
Si ABCD est un parallélogramme, alors
→
AB = DC .
Faire les exercices n°4 et 5 de cette feuille.
Propriété n°4 (relation de Chasles)
→ →
→
AB + BC = AC
Faire les exercices n°1 et 2 de la feuille 2
Définition n°5
→
0 est la translation de déplacement égal à 0.
Définition n°6
→
→
→
→
− AB est le vecteur tel que AB +(− AB ) = 0
Propriété n°4
→ →
− AB = BA .
Propriété n°5
→ →
→
AB + AB = 2 AB
→ → →
→
AB + AB + AB = 3 AB
etc.
Faire les exercices n°3, 4 et 5 de la feuille 2.
III) Vecteurs et milieux − vecteurs et coordonnées
a) Vecteurs et milieux
Propriété n°6
→ →
Si I est le milieu de [AB], alors AI = IB .
Propriété n°7
→ →
Si AI = IB , alors I est le milieu de [AB].
Conséquence
→ → →
Si AI = IB et CI
→
= ID , alors ACBD est un parallélogramme.
Exercice n°1 (sur cette feuille)
Dans chacun des cas suivants, construire
l’image du point C par la translation qui
→
transforme A en B (ou de vecteur AB )
a)
Construire l’image B’ du point B par la
→
translation de vecteur u
(ou qui transforme l’origine de la flèche en
son extrémité)
b)
B
C
A
B
→
u
c)
d)
A
C
B
B
→
u
e)
f)
A
B
B
C
→
u
g)
A
C
B
→
u
B
Conclusion : dans tous les cas, pour construire l’image d’un point par une translation, on est amené à
construire le quatrième…………………………………………………………………………………
Exercice n°2
Compléter par vrai ou faux : les vecteurs ont le(la) même :
a)
Direction
b)
Sens
longueur
d)
Direction
c)
Direction
sens
longueur
Direction
e)
Sens
longueur
sens
longueur
sens
longueur
f)
Direction
sens
longueur
Direction
Exercice n°3
B
Construire le translaté :
→
A
E de A par la translation de vecteur CD ,
→
F de C par la translation de vecteur AB,
C
→
G de B par la translation de vecteur AD ,
→
H de E par la translation de vecteur DA ,
→
D
I de E par la translation de vecteur AB .
Exercice n°4
Les questions sont indépendantes. Dans chacun des cas, les vecteurs
Justifier sa réponse.
a) ABCD est un parallélogramme.
b) ABDC est un parallélogramme.
c) (AB) et (CD) sont parallèles.
d) ACDB est un trapèze isocèle.
→ →
AB et CD sont-ils égaux ?
Exercice n°5
ABCD est un carré de centre O. Les points I, J, K et L sont les milieux respectifs des côtés [AB],
[BC], [CD] et [DA]. Compléter :
A
I
B
→
L’image de O par la translation de vecteur
L’image de L par la translation de vecteur
→ → →
AL = J… = …K
→ → →
IJ est ……
→
A… est K.
L
O
J
LI = K… = …O
→ →
→
CO = O…= …L
D
K
C
Troisieme ─ Vecteurs − Feuille d’exercices n°1 − Correction
Exercice n°1 (sur cette feuille)
Dans chacun des cas suivants, construire
l’image du point C par la translation qui
→
transforme A en B (ou de vecteur AB )
a)
Construire l’image B’ du point B par la
→
translation de vecteur u
(ou qui transforme l’origine de la flèche en
son extrémité)
b)
B
C
D
A
B
→
u
c)
d)
A
C
B
B
→
u
e)
A
f)
B
B
C
→
g)
u
A
C
B
→
u
B
Conclusion : dans tous les cas, pour construire l’image d’un point par une translation, on est amené à
construire le quatrième…………………………………………………………………………………
Exercice n°2
Compléter par vrai ou faux : les vecteurs ont le(la) même :
a)
b)
c)
Direction
faux
d)
Sens
faux
longueur
faux
Direction
faux
e)
sens
faux
longueur
vrai
Direction
vrai
f)
sens
faux
longueur
faux
Direction
vrai
Sens
vrai
longueur
faux
Direction
vrai
sens
faux
longueur
vrai
Direction
vrai
sens
vrai
longueur
vrai
Exercice n°3
B
H
Construire le translaté :
→
A
E de A par la translation de vecteur CD ,
F
→
F de C par la translation de vecteur AB,
C
→
I
G de B par la translation de vecteur AD ,
→
E
H de E par la translation de vecteur DA ,
→
G
D
I de E par la translation de vecteur AB .
Exercice n°4
→ →
Dans chacun des cas, les vecteurs AB et CD sont-ils égaux ? Justifier sa réponse.
a) ABCD est un parallélogramme.
b) ABDC est un parallélogramme.
c) (AB) et (CD) sont parallèles.
C
A
B
D
A
d) ACDB est un trapèze isocèle.
Exercice n°5
ABCD est un carré de centre O. Les points I, J, K et L sont
les milieux respectifs des côtés [AB], [BC], [CD] et [DA].
Compléter :
L’image de O par la translation de vecteur
→
L
I
O
B
J
IJ est ……
D
K
C
→
L’image de L par la translation de vecteur
→ → →
AL = J… = …K
→ → →
LI = K… = …O
→ →
→
CO = O…= …L
A… est K.