Séquence 08 : Vecteurs Définition – Somme – Relation de Chasles
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Séquence 08 : Vecteurs Définition – Somme – Relation de Chasles
Séquence 08 : Vecteurs Définition – Somme – Relation de Chasles I. Vecteurs et translations 1. Translation de vecteur Définition : Soit A et B deux points distincts du plan. La translation qui transforme A en B associe à tout point C du plan l’unique point D tel que les segments et aient le même milieu. Cas 1 : Cas 2 : Remarque : Un quadrilatère dont les diagonales Remarque : On dit que ABDC est un parallélogramme se coupent en leur milieu est un parallélogramme. aplati. Donc D est le point tel que ABDC soit un parallélogramme. Définition : La translation qui transforme A en B est appelée la translation de vecteur . Un vecteur est un objet mathématique défini par une direction, un sens et une longueur. On le représente par une flèche. Cette définition est très utile pour les physiciens 2. Vecteurs égaux Définition : Dire que les vecteurs en D. On note = . Propriété : = et sont égaux signifie que la translation de vecteur transforme C si et seulement si ABDC et un parallélogramme, éventuellement aplati. (faire figure) Représentants d’un vecteur : Si alors on dit que les vecteurs , , … sont les représentants d’un même vecteur d’origine respective A C et E que l’on peut noter par exemple. Un vecteur admet une infinité de représentants. 3. Vecteurs particuliers Le vecteur nul, noté est associé à la translation qui transforme A en A B en B C en C….. Ainsi : Conséquence : si et seulement si, . (Cette conséquence est parfois très pratique pour démontrer que deux points sont confondus.) Le vecteur opposé au vecteur vecteur . Conséquence : L’opposé du vecteur est le vecteur associé à la translation qui transforme B en A ; c’est le est le vecteur . Donc . (faire un dessin avec Caractérisation du milieu : Le point I est le milieu du segment [AB] si, et seulement si, ) II. Coordonnées d’un vecteur 1. Coordonnées d’un vecteur Dans cette partie, le plan est rapporté à un repère ; et est un vecteur donné non nul. La translation de vecteur associe au point O un unique point M tel que . On dit que le vecteur est le représentant du vecteur d’origine A. Définition : Les coordonnées du vecteur Exemple : Le vecteur sont les coordonnées du point M tels que a pour coordonnées ; . . Les coordonnées d’un vecteur décrivent le déplacement qu’il représente. Ainsi un déplacement de vers la droite et de 3 unités vers le bas sera représenté par un vecteur de coordonnées ; Remarques : Les coordonnées du vecteur nul sont ; Le repère ; se note aussi ; où unités . et . Propriété : Deux vecteurs sont égaux si et seulement si ils ont les même coordonnées dans un repère. Autrement dit si dans un repère les vecteurs ont pour coordonnées respectives ; et ’ ; ’ alors : = . (la démonstration est immédiate avec la définition donnée plus haut) ⇔ 2. Coordonnées du vecteur Propriété : Dans un repère, soit et Alors le vecteur a pour coordonnées Démonstration : Dans un repère ; ⇔ et ⇔ Or I milieu de ⇔ ⇔ Or le vecteur Exemple : Si Alors le vecteur . , on note M le point tel que ont le même milieu I. Or I milieu de Ainsi, deux points. . ⇔ ⇔ ⇔ a pour coordonnées celles du point M c’est-à-dire ; et ; a pour coordonnées soit soit . . III. Addition de deux vecteurs 1. Somme de deux vecteurs Définition : La somme de deux vecteurs et est le vecteur associé à la translation résultant de l’enchaînement des translations de vecteur et de vecteur . On note ce vecteur + . Remarque : L’ordre de l’enchaînement n’a pas d’importance. Propriétés : + = + + = + ( + )+ =u+( + ) Définition : On appelle différence de deux vecteurs et le vecteur noté défini par : . Caractérisation du milieu : I est le milieu du segment [AB] si, et seulement si, Propriété : Soient les vecteurs et Alors les coordonnées du vecteur . . sont et celle du vecteur sont . 2. Constructions géométriques Pour construire géométriquement la somme de deux vecteurs deux propriétés : et on peut utiliser l’une ou l’autre de ces Propriété : Relation de Chasles (1793 ; 1880 mathématicien français) Pour touts points A, B et C du plan : + . L’image du point A par la translation de vecteur est le point B. L’image du point B par la translation de vecteur est le point C. Donc l’image du point A par l’enchaînement des translations de vecteur puis de vecteur est le point C. Remarque : Quand les deux vecteurs sont représentés par des flèches dont l’extrémité de l’une est l’origine de l’autre on utilise la relation de Chasles. Propriété : Règle du parallélogramme A, B et C étant trois points distincts non alignés, le point D tel que est le point tel que ABDC soit un parallélogramme. Remarque : Quand les deux vecteurs sont représentés par des flèches ayant la même origine, on trace le vecteur somme en traçant le parallélogramme.