Fiche 7 : Produit scalaire dans l`espace

Fiche Exercices
Nº : 32007
MATHEMATIQUES
Série S
Fiche 7 : Produit scalaire dans l’espace
Déterminer l’angle géométrique formé par deux vecteurs
Méthode
L’angle géométrique formé par deux vecteurs est caractérisé par son cosinus. Il suffit de transformer l’expression trigonométrique
 
 
u⋅v
du produit scalaire en cos u, v =   .
u v
( )
Etablir des orthogonalités hors géométrie analytique.
Méthodes
• décomposer l’un des vecteurs (ou les deux) grâce à la relation de Chasles dans le but de faire apparaître de nouveaux produits
scalaires que l’on sait calculer (en particulier des produits scalaires de vecteurs orthogonaux) ;
• utiliser la propriété « Si un vecteur est normal à un plan alors il est orthogonal à tout vecteur du plan », contenue dans la
définition d’un vecteur normal à un plan.
Exercice 1
On considère un tétraèdre OABC tel que les triangles OAB, OAC et OBC sont rectangles en O. Le point I est le pied de la hauteur
issue de C dans le triangle ABC et le point H est le pied de la hauteur issue de O dans le triangle OIC. Montrer que les droites (OH)
et (AB) sont orthogonales puis que H est l’orthocentre du triangle ABC.
Se servir du volume d’un solide pour calculer une longueur
Méthode
On calcule le volume du solide de deux façons différentes, d’une part sans utiliser la longueur cherchée, d’autre part en l’utilisant.
L’égalité des deux résultats fournit la réponse.
Exercice 2 (Suite de l’exercice précédent)
Le tétraèdre est tel que OA = OB = OC = a.
a) Calculer le volume V du tétraèdre puis l’aire S du triangle ABC.
b) Exprimer OH en fonction de V et de S, en déduire que OH =
a
.
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Déterminer les coordonnées d’un vecteur orthogonal à deux vecteurs
Méthode
En exprimant que le produit scalaire d’un vecteur de coordonnées (x, y, z ) avec chacun des deux vecteurs est nul, on est amené
à résoudre un système de deux équations linéaires « à trois inconnues ». En donnant une valeur arbitraire à l’une des inconnues
on se ramène à un système « 2 x 2 ».
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Fiche Exercices
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MATHEMATIQUES
Série S
Exercice 3


Déterminer un vecteur orthogonal à u (2, 2,1) et à v (1, 2, 3 ).
Déterminer une équation d’un plan défini par un point et deux vecteurs non colinéaires
Méthode
On se ramène au cas d’un plan défini par un point et un vecteur normal ; il suffit de déterminer, pour vecteur normal, un vecteur
orthogonal aux deux vecteurs donnés
 Méthode : « Déterminer les coordonnées d’un vecteur orthogonal à deux vecteurs ».
Exercice 4 (Suite de l’exercice précédent)
 


Déterminer une équation du plan de repère A, u, v avec A(1, 0, −1), u (2, 2,1) et v (1, 2, 3 ).
(
)
Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal d’un point sur un plan dont on connaît une équation
Méthode



L’équation du plan fournit un vecteur normal n  ; M 0 étant le point donné et H son projeté, le vecteur M 0 H est colinéaire à n dans
un rapport t en fonction duquel on exprime les coordonnées de H ; celles-ci vérifient l’équation du plan. On en déduit la valeur de
t puis les coordonnées de H.
Exercice 5
Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal H du point M 0 (−2,1, 4 ) sur le plan d’équation x + 2y − 3z + 5 = 0.
Déterminer les coordonnées du symétrique orthogonal d’un point par rapport à un plan dont on connaît une équation
Méthode
Après avoir déterminé le projeté orthogonal H du point M 0 sur le plan il suffit d’exprimer que le symétrique orthogonal K de M 0
par rapport au plan est aussi le symétrique de M 0 par rapport à H.
Exercice 6 (Suite de l’exercice précédent)
Déterminer les coordonnées du symétrique orthogonal K de M 0 par rapport au plan d’équation x + 2y − 3z + 5 = 0.
Déterminer le projeté orthogonal d’un point sur une droite
Méthode

( )
Le projeté orthogonal H du point M 0 sur
 la droite (D) de repère A, u est le point d’intersection de cette droite avec le plan (P)
qui passe par M 0 admettant le vecteur u pour vecteur normal.


 AH = tu
Le point H est donc caractérisé par   
, la première égalité signifiant que le point H appartient à (D) et la seconde qu’il
 M 0 H ⋅ u = 0
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Fiche Exercices
Nº : 32007
MATHEMATIQUES



AH = tu
appartient à (P). Il vient    
, soit encore
 M 0 A + AH ⋅ u = 0
(
)
Série S


 
 

 AM 0 ⋅ u 
AH = tu
AM 0 ⋅ u
, d’où l’on tire t =  2
puis AH =  2 u.
2
  
u
u
 M 0 A ⋅ u + tu = 0
Exercice 7
On considère un cube ABCDA’B’C’D’ de côté a. Déterminer le projeté orthogonal du sommet B sur la diagonale [AC '].
Déterminer la distance d’un point à une droite
Méthode
La distance du point M 0 à la droite (D) est égale à M0H où H est le projeté orthogonal de M 0 sur (D). Pour tout point A de (D),
différent de H, le triangle AHM 0 est rectangle en H. Le théorème de Pythagore permet de calculer la longueur M 0 H.
Exercice 8

Déterminer la distance du point M 0 (2,1, 3 ) à la droite (D) qui passe par A (1, 0,1) de vecteur directeur u (2,1, 3 ).
Déterminer une équation d’une sphère
Méthode 1
Lorsque la sphère est définie par son centre Ω et son rayon R il suffit de traduire la condition ΩM 2 = R 2 pour obtenir une
équation de la sphère.
Méthode 2
 
Lorsque la sphère est définie par un diamètre [A, B] il suffit de traduire la condition AM ⋅ BM = 0 pour obtenir un équation de
la sphère.
Déterminer la nature de l’ensemble d’équation x 2 + y 2 + z 2 - 2ax - 2by - 2cz + d = 0
Méthode
En ajoutant a 2 + b 2 + c 2 − d à chacun des membres de l’égalité, on obtient (x − a ) + (y − b ) + (z − c ) = a 2 + b 2 + c 2 − d, soit encore
ΩM 2 = a 2 + b 2 + c 2 − d avec Ω (a, b, c ).
Selon le signe du réel a 2 + b 2 + c 2 − d on en déduit qu’il s’agit de l’ensemble vide, du singleton {Ω} ou bien de la sphère de centre
Ω et de rayon a 2 + b 2 + c 2 − d.
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