BA BA B B A A i B B A A j B B A A i BA j BA BA BA j BA BA

Produit vectoriel de 2 vecteurs par la méthode du « déterminant d'une matrice 3x3 »
On écrit « A B » le produit vectoriel des vecteurs A et B . Le résultat du produit est donné par
l expression suivante, un vecteur dont les 3 composantes sont obtenues à partir d opérations entre
les composantes des 2 vecteurs multipliés :
A B
Ay Bz
Az B y i
Az Bx
Ax Bz
j
Ax B y
Ay Bx k
Cependant, il est plus simple de retenir la « méthode de la matrice » que retenir cette longue
expression. Effectuer un produit vectoriel en créant une matrice 3x3 équivaut à calculer le
"déterminant" d une matrice 3x3 :
Disposer dans un tableau (matrice 3x3) les 3 vecteurs unitaires fondamentaux, les 3 composantes
du premier vecteur du produit, et les 3 composantes du second vecteur du produit :
i
A B
j
k
dét Ax
Ay
Az
Bx
By
Bz
Les 3 composantes du vecteur « résultat » sont obtenus en « rayant », pour chaque vecteur
unitaire, sa ligne et sa colonne.
i
+
A B
j
Ay
Az
By
Bz
*
k
Ax
Az
Bx
Bz
+
Ax
Ay
Bx
By
Pour chacune des 3 « sous-matrices », on multiplie les 2 composantes de la diagonale principale,
et soustrait le produit des composantes de la diagonale secondaire. Le vecteur unitaire concerné
est ensuite multiplié par cette différence.
i
Ay
By
Par exemple,
Az
Bz
devient
i
Ay
Bz
Az B y
* Attention! Cette méthode nécessite qu on alterne le signe de chaque terme, et le terme en j
devra donc être soustrait.
On obtient donc :
A B
Ay B z
Ax B z
Az B y i
Az B x
j
+
Ax B y
Ay B x k
Ou bien, en inversant quelques signes, on retrouve la longue expression donnée initialement :
A B
Ay B z
Az B y i
+
Az B x
Ax B z
j
+
Ax B y
Ay B x k