Plan du cours

Cours de MATH100
version du 22 février 2005
Plan et principales notions abordées dans le cours
Chaque chapitre correspond approximativement à un cours.
1. Vecteurs du plan
1.1 Du monde sensible aux mathématiques
Introduction de la notion de vecteur
Introduction de la notion de modélisation
1.2 Le plan est-il formé de points ou de vecteurs ?
Vecteur qui relie deux points
Opérateur de translation
1.3 Le plan vectoriel
Produit d’un vecteur par un nombre réel
Addition de vecteurs ; notion de commutativité et d’associativité
Combinaison linéaire de vecteurs
Notion de base ; décomposition d’un vecteur sur une base ; deux vecteurs suffisent pour décrire
un plan vectoriel ; indépendance de deux vecteurs
1.4 Le plan euclidien
Produit scalaire ; norme d’un vecteur ; projection
Base orthonormée ; orientation du plan
2. Trigonométrie et nombres complexes
2.1 Bases de la trigonométrie
Signification géométrique du sinus et du cosinus, projection, théorème de Pythagore
Variations des fonctions ; unités des angles
Relations trigonométriques simples, valeurs particulières
Utilisation du cercle trigonométrique
2.2 Introduction aux nombres complexes et géométrie dans le plan
Définition par analogie avec les vecteurs
Opérations simples sur les nombres complexes : addition, multiplication
Définition de i
Module et argument d’un nombre complexe ; vecteur en coordonnées polaires
3. Utilisation des nombres complexes
3.1 Nombres complexes et algèbre
Racines n-ièmes de l’unité
Racines d’une équation du second degré
Racines d’une équation du n-ième degré.
3.2 La fonction exponentielle complexe
Lien entre fonction cosinus et exponentielle complexe
Equation différentielle du second ordre : exemple d’utilisation sur un mouvement oscillant
Onde monochromatique
4. Matrices 2x2
4.1 Introduction
Définition : application linéaire projetée sur un repère donné, exemple de la rotation.
Exemples d'utilisation des matrices pour la représentation de données, matrice d’un système
d’équations linéaires.
Matrices diagonale, unité
4.2 Opérations sur les matrices
Somme de deux matrices ; multiplication par un scalaire ; introduction sur l’exemple de
l’homothétie
Produit de matrices ; introduction sur les exemples de la rotation d’un vecteur autour d’un axe, de
son symétrique par rapport à un point ou un plan, du produit de deux rotations ; règle de calcul du
produit de deux matrices; rôle du repère ; propriétés du produit de deux matrices :
associativité, distributivité, élément neutre, non commutativité
4.3 Matrice inverse
Introduction sur l’exemple de la rotation inverse
Comment savoir si une matrice est inversible ? notion de déterminant
Comment calculer la matrice inverse ?
5. Vecteurs et matrices en 3 dimensions
5.1 Généralisation à 3D des résultats obtenus à 2D
Vecteurs ; exemple ; repère (orientation)
Matrices ; rotation en 3D
Ce qui change en 3D : le calcul du déterminant
5.2 Produit vectoriel
Illustration (intersection de plans, orientation directe ou indirecte de l’espace géométrique,.)
Applications (surface, flux et surface, produit mixte : volume)
5.3 Systèmes d’équations linéaires
Systèmes quelconques, systèmes homogènes, représentation matricielle d’un système
d’équations, rang d’un système, systèmes réguliers
Résolution d’un système par échelonnement (méthode de Gauss) : existence, nature et
nombre des solutions, représentation matricielle des solutions
Utilisation de la matrice inverse pour la résolution des systèmes réguliers.
6. Fonctions à une variable
6.1 Rappels
Représentation graphique ; courbure ; points remarquables (équilibre, extrema)
Fonctions paires, impaires, périodiques (dessins)
Limite/Discontinuité
6.2 Dérivée
Définition illustrée sur des exemples
Opérations sur les fonctions dérivables ( (fg). (f/g). etc .)
Développements limités
Différentielle (avec interprétation géométrique)
6.3 Intégrales/Primitives
méthodes usuelles d’intégration ; intégration immédiate ; changement de variable ; intégration
par parties (vu sous l’angle .différentielle.)
Tableau résumé des fonctions usuelles avec leurs dérivées, primitives, allure graphique, etc
7. Fonctions à deux variables
7.1 Rapides définitions
Exemples
Lignes de niveau
7.2 Dérivées partielles
- ce que cela signifie
- relation entre dérivées partielles
- changement de variable
Notion de gradient (lien avec produit scalaire ?) <= point de vue pratique
Différentielles (variables thermodynamiques)
8. Equations différentielles du premier et du deuxième ordre à coefficients constants
8.1 Introduction sur un ou deux exemples (population.)
8.2 Equations différentielles du premier ordre, avec ou sans second membre
8.3 Equations différentielles du deuxième ordre, avec ou sans second membre
9. Observation et variabilité
L.accent sera mis sur la nécessité pour les étudiants de comprendre que la notion de
variabilité est un des fondements de la réflexion scientifique.
Représentation de séries de valeurs observées
Principaux paramètres pour caractériser une série de valeurs observées
Espérance et moyenne (paramètres de position)
Variance et écart-type (paramètres de dispersion)
Médiane, Mode
10. Probabilités et variables aléatoires
A partir de cette notion de variabilité il est aisé de passer aux notions de probabilités et de
variables aléatoires.
Probabilités : Définition de base et approche intuitive
Conditionnelles
Composées
Variables aléatoires :
Discrètes
Continues
11. Principales lois de distributions
Les valeurs possibles de ces variables vont être distribuées selon des lois de probabilités dont
nous verrons les principales.
Loi Uniforme, Loi Binomiale, Loi de Poisson, Loi Normale
12. Echantillonnage et estimation
A partir de la loi normale nous travaillerons sur la population et l'échantillon et sur les
contraintes que les passages de l'un à l'autre impliquent en terme de raisonnement et de calcul
pour les paramètres espérance et variance.
Estimation ponctuelle de l'espérance et de la variance
Estimation par intervalle de l'espérance
Intervalle de variation (Echantillonnage)
Intervalle de confiance (Estimation)