Objectifs à atteindre pour l`examen 3 Connaissances Connaître ce

Objectifs à atteindre pour l’examen 3
Connaissances
Connaître ce qu’est :
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o
o
o
Une combinaison linéaire (vecteurs, matrices, polynômes);
Des vecteurs colinéaires;
Des vecteurs coplanaires;
Un ensemble générateur;
Une base d’un espace vectoriel;
Les composantes dans une base donnée (vecteurs, matrices, polynômes);
La dimension d’un espace vectoriel (vecteurs, matrices, polynômes);
Une base orthogonale (vecteurs);
Une base orthonormée (vecteurs);
Définir :
o
o
o
Le produit scalaire de deux vecteurs;
Le produit vectoriel de deux vecteurs;
Le produit mixte de trois vecteurs;
Connaître :
o
o
o
Les propriétés du produit scalaire;
Les propriétés du produit vectoriel;
Les propriétés du produit mixte;
Exprimer la projection d’un vecteur sur un autre vecteur en fonction de produits
scalaires de ces vecteurs;
Applications
Exprimer un élément comme une combinaison linéaire de d’autres éléments
(vecteurs, matrices, polynômes);
Déterminer si les éléments d’un ensemble sont linéairement dépendants ou
indépendants (vecteurs, matrices, polynômes);
Déterminer si deux vecteurs sont colinéaires;
Déterminer si trois vecteurs sont coplanaires;
Déterminer si les éléments d’un ensemble forment une base (vecteurs, matrices,
polynômes);
Déterminer si les éléments d’un ensemble sont générateurs de cet ensemble
(vecteurs, matrices, polynômes);
Calculer les composantes d’un élément dans une nouvelle base, connaissant ses
composantes dans une autre base (vecteurs, matrices, polynômes);
Déterminer la dimension d’un espace vectoriel (vecteurs, matrices, polynômes);
Déterminer si des vecteurs sont orthogonaux;
Déterminer si une base est orthogonale, orthonormée;
Effectuer le produit scalaire de deux vecteurs;
Déterminer l’angle entre deux vecteurs en utilisant le produit scalaire;
Déterminer si deux vecteurs sont orthogonaux en utilisant le produit scalaire;
Déterminer la projection orthogonale d’un vecteur sur un autre vecteur;
Effectuer le produit vectoriel de deux vecteurs;
Trouver un vecteur perpendiculaire à deux vecteurs donnés;
Déterminer le sens du vecteur résultant du produit vectoriel de deux vecteurs (règle
de la main droite);
Calculer l’aire d’un parallélogramme engendré par deux vecteurs à l’aide du produit
vectoriel;
Calculer l’aire d’un triangle engengré par deux vecteurs à l’aide du produit vectoriel;
Effectuer le produit mixte de trois vecteurs;
Calculer le volume d’un parallélépipède engendré par trois vecteurs à l’aide du
produit mixte;
Calculer le volume d’un tétraèdre engendré par trois vecteurs à l’aide du produit
mixte;
Vérifier si trois vecteurs sont coplanaires en utilisant le produit mixte;
Démonstrations
Utiliser les propriétés du produit scalaire, du produit vectoriel et du produit mixte
pour résoudre certains problèmes géométriques (démontrer la loi des cosinus, la loi
des sinus); Exercices :
o
o
o
o
o
p.
p.
p.
p.
p.
249
256
296
309
315
#12
#8
# 13 à 17
# 10 et 11
# 4 et 6.
Justifier des énoncés vrai ou faux portant sur les combinaisons linéaires, les bases et
les produits de vecteurs; Exercices :
o
o
o
o
p.
p.
p.
p.
256
272
275
320
#7
#15
#1, 7, 8 et 9
#1