Les vecteurs-v2

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Les vecteurs-v2

2. CONCEPTION MÉCANIQUE DES
SYSTÈMES
ITEC
Innovation
Technologique et EcoConception
Fichier : Les vecteurs-v2.doc
2.2 Comportement d’un mécanisme et/ou
d’une pièce
Niveau : 3
1ère
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LES VECTEURS - GÉNÉRALITÉS
Objectifs du COURS :
Ce cours sur les vecteurs traitera essentiellement les points suivants :
- Définitions des notions de scalaire et de vecteur
- Description des principales opérations réalisées sur les vecteurs,
et les coordonnées cartésiennes d’un vecteur
- Définitions du produit scalaire de deux vecteurs
- Exercices d’application.
Comment représenter la direction et l’intensité d’une force agissant sur un objet ? Comment définir l’action
résultante de plusieurs forces agissant sur une même structure ? Comment décrire la position d’un avion
par rapport à un aéroport et définir sa vitesse ?
Réponse : les vecteurs.
SCALAIRES
Les scalaires sont des nombres positifs, négatifs ou nuls, utilisés pour représenter des quantités diverses :
temps, température, masse, énergie, volume, …
Par exemple, les nombres 20, 18, 50 sont les scalaires des grandeurs suivantes : hauteur de 20 m, volume
de 18 m3, force de 50 N.
VECTEURS
Un vecteur est une grandeur définie par une direction, un sens et une norme.
La direction est la droite qui porte le vecteur.
Elle est définie par l’angle θ.
Le sens représente l’orientation origineextrémité du vecteur et est symbolisé par une
flèche.
Sens
V
θ (direction)
V
La norme ou module, représente la valeur de
la grandeur mesurée par le vecteur.
Graphiquement, elle correspond à la longueur
de celui-ci. Notation : || ||.
Norme
Caractéristiques d’un vecteur
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d’une pièce
Niveau : 3
1ère
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Le point d’application est le point qui sert
d’origine à un représentant (ou image) du
vecteur.
V
V
Vecteur
et son opposé (-
)
OPÉRATIONS SUR LES VECTEURS
ADDITION
Des vecteurs de même nature peuvent être additionnés pour former un troisième vecteur appelé
vecteur-somme.
et
Exemple :
des deux vecteurs
Échelle : 1 mm ∼ 1N
B
A
R
- déterminer graphiquement la somme
+
ci-dessous :
Triangle de construction
B
A
A
R
B
α
A
+
B
R
=
R
|| || = 81 N
+
B
des deux vecteurs
A
R
- déterminer par le calcul la somme
ci-dessus :
75
,
6539
R2 = A2 + B2 + 2AB cos α = 462 + 392 + 2x46x39 cos 36 = 2116 + 1521 + 3588 cos 36 = 6539,75
R=
= 80,86 N
B
A
B
A
Remarque : l’addition peut être réalisée à partir d’un triangle de construction (conditions :
triangle doivent être parallèles et de mêmes longueurs que les vecteurs
et
d’origine).
du
ITEC
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Innovation
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1ère
d’une pièce
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SOUSTRACTION
La différence entre deux vecteurs se ramène à une addition en ajoutant le vecteur opposé.
Exemple :
des deux vecteurs
-
B
A
R
- déterminer graphiquement la soustraction
ci-dessous :
R
A
B
Échelle : 1 mm ∼ 1N
-
A
B
+ (-
R
=
B
B
A
A
-
)=
R
|| || = 22 N
COMMUTATIVITÉ
L’opération d’addition sur les vecteurs est commutative.
B
B
A
=
+
=
ASSOCIATIVITÉ
L’opération d’addition sur les vecteurs est associative.
R
A
+
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1ère
d’une pièce
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MULTIPLICATION D’UN VECTEUR PAR UN SCALAIRE
B
A
B
B
B
A
A
B
A
Les sommes ( + ) et ( + + ) s’écrivent simplement sous la forme 2 et 3 , produit des scalaires 2
et .
et 3 par les vecteurs
Si
a pour intensité 100 N, les intensités de 0,5 , 2,5 et de -2 seront respectivement de 50 N, 250
N et 200 N.
A
A
A
A
VECTEUR NUL
B
+
+ C= 0
A
C
A
B
COORDONNÉES CARTÉSIENNES D’UN VECTEUR
VECTEURS UNITAIRES
k
j
i
k
j
i
Les vecteurs , et sont des vecteurs
unitaires d’intensité égale à 1.
, et sont les vecteurs de base du repère
orthonormé (O, x, y, z).
Remarque :
z
y
x
Les vecteurs unitaires des axes x, y, z sont
parfois notés , et .
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d’une pièce
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COORDONNÉES DANS LE PLAN
V
V
2
2
Vy
+
Vx
V
|| =
VyVx
Direction : tan θ =
Norme : ||
a deux coordonnées
j
Vi
V
VVV
Dans le plan, le vecteur
x et
y.
= x+ y
=Vx . +Vy .
EXERCICE D’APPLICATION
F
Déterminer la norme et la direction du vecteur
suivant y.
ayant pour coordonnées cartésiennes 4 suivant x et 3
Direction :
tan θ =
FyFx
+3
=
j 3 4
i
F
=4
= 0,75
F
a un angle de θ=36,87° par rapport à (O, x).
Norme :
2
3
+
2
4
F
|| || =
=5
PRODUIT SCALAIRE DE DEUX VECTEURS
B
A
B
A
Le produit scalaire du vecteur
par le vecteur , noté . , est égal au produit des modules des
deux vecteurs multiplié par le cosinus de l’angle (θ
θ) entre leurs directions respectives.
SYSTÈMES
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= ||
d’une pièce
B
A
B
A
.
|| . || || . cos θ
A
Remarques :
θ
B
B
BA
AB
A
Le produit des deux vecteurs est un nombre ou
un scalaire et pas un autre vecteur.
Si et sont perpendiculaires (θ=90°), alors
. = || || . || || . cos 90° = 0.
A
B
B
A
Le produit scalaire est commutatif :
. = .
EXERCICE D’APPLICATION
et
B
A
Déterminer le produit scalaire des vecteurs
ci-dessous.
.
+4
j j
=7
i i
B
A B A
=4
-3
= (4x7) - (4x3) = 16
Remarques :
|| =
2
2
4
7
+ +
2
2
4
3
A B
||
= 5,66
B
A
|| || =
= 7,62
θ = 45° + 23,2° = 68,2°
. = 5,66 x 7,66 cos 68,2° = 16
QCM - EXERCICES D’APPLICATIONS
Question 1 (encadrer la ou les bonnes affirmations)
Un vecteur est défini par :
-
une direction et une norme
une direction, une norme et un sens
une direction, une norme, un module et un sens
une direction, une norme, un module, un sens et un poit d’application
Niveau : 3
1ère
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Innovation
SYSTÈMES
Niveau : 3
1ère
d’une pièce
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Un vecteur unitaire est un vecteur :
-
d’intensité égale à l’unité ou 1
de norme ou de module égale à 1
unique devant rester seul
Un scalaire est :
-
un nombre arithmétique ou algébrique représentant une quantité
un vecteur particulier
un poisson plat
Question 4
V1
Rechercher ci-dessous les projections de
sur x et y.
y
V1
10 mm
1 mm ∼ 1 N
x
10 mm
||
|| =
2
3
+
2
3
V1y= 3
V1
V1x= 3
= 4,24 N

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