Université Paris–Est–Créteil M1 ufr de Sciences et Technologies

Université Paris–Est–Créteil
ufr de Sciences et Technologies
Année 2010-2011
M1
Matlab : Probabilités Appliquées
TD 3
Simulation de probabilités conditionnelles
Application à l’inversion d’un système linéaire
L’objet de ce TP est de proposer une méthode probabiliste d’inversion de la matrice
A − aI. Soit b un vecteur de Rn , on cherche donc à calculer les composantes du vecteur x
de Rn tel que
(S) Ax − ax + b = 0,
c.-à-d.
n
X
ai,j xj − axi + bi = 0,
∀i ∈ {1, . . . , n}.
j=1
Questions théoriques
0. On considère une matrice A = [ai,j ]1≤i,j≤n carrée d’ordre n ≥ 1 à coefficients réels
telle que
n
X
(DD) ai,j ≥ 0, ∀i 6= j, et
ai,j ≤ 0, ∀i ∈ {1, . . . , n}.
j=1
On note I la matrice identité.
Montrer que pour tout réel a > 0, A − aI est une matrice inversible. La condition a > 0
est-elle nécessaire ?
1. Soit k un réel strictement positif à déterminer. On considère la matrice P définie par
P = I + kA.
Comment peut-on choisir k de sorte que
(M ) pi,j ≥ 0,
et
n
X
pi,j ≤ 1,
∀i ∈ {1, . . . , N }
?
j=1
2. On considère l’ensemble des n premiers entiers naturels auquel on adjoint un élément
noté ∞, soit l’ensemble E = {1, 2, . . . , n} ∪ {∞}. Soit (Ω, F, P) un espace de probabilité et
1
soit {Xn }n≥0 une suite de v.a. à valeurs dans E vérifiant les propriétés suivantes :
(i)
P{Xn+1 = xn+1 | X0 = x0 , X1 = x1 , . . . , Xn = xn } = P{Xn+1 = xn+1 | Xn = xn },

P{Xn+1



P{Xn+1
(ii)
P{Xn+1



P{Xn+1
= j | Xn = i}
= ∞ | Xn = i}
= j | Xn = ∞}
= ∞ | Xn = ∞}
=
=
=
=
pi,j , P
1 ≤ i, j ≤ n,
1 − nj=1 pi,j , 1 ≤ i ≤ n,
0,
1 ≤ j ≤ n,
1.
On pose Q la matrice de taille (n + 1) × (n + 1) définie par

P
p1,1 · · · p1,n 1 − nj=1 p1,j
 ..
..
..
...

.
Q= .
P.n
 pn,1 · · · pn,n 1 − j=1 pn,j
0 ··· 0
1



.

Ainsi, les accroissements de la suite {Xm } à la date n ne dépendent que de sa position à
la date n et de la matrice Q et pas de ses positions antérieures : on dit que c’est une chane
de Markov de matrice de transition Q.
Pour toute fonction f définie sur E, exprimer E(f (Xm+1 ) | Xm = i) en fonction de Q
et du vecteur f¯ = t [f (1), f (2), · · · , f (n), f (∞)]. En déduire Ef (Xm ) | X0 = i) en fonction
de f¯, de Q et de m.
3. Soit y un vecteur de Rn , on notera par la suite ȳ le vecteur de Rn+1 obtenu en posant
ȳi = yi pour 1 ≤ i ≤ n et ȳn+1 = 0. Quel interprétation probabiliste peut-on faire de la ie
composante de Qm ȳ pour m ≥ 1 et i ∈ {1, . . . , n} ?
On peut montrer que la solution x de (S) a l’interprétation probabiliste suivante
!
τ −1
X
1
bX | X0 = i , 1 ≤ i ≤ n,
(P ) xi = k E
(1 + ak)n+1 n
n=0
où τ = inf{n ≥ 0 | Xn = ∞}.
Les questions suivantes ont pour but de démontrer la formule (P). On peut les sauter
dans une première lecture pour commencer les simulations en supposant vraie (P).
4. On considère x solution du système linéaire (S) et on pose
Mm =
m−1
X
k
x̄Xm
+
b̄X ,
m
(1 + ak)
(1 + ak)`+1 `
m ≥ 1,
et M0 = x̄X0 .
`=0
Montrer que {Mm }m≥0 est une martingale.
5. En déduire l’interprétation (P) de la solution x de (S).
+ On pourra remarquer que {Mmin(m,τ ) }m≥0 est également une martingale.
2
Simulations numériques
On considère la matrice suivante

−18 4
2
3
5
 6 −32 7
7
9

5 −26 6
9
A=
 6
 2
6
4 −17 3
3
0
8
7 −19






Vérifier que A est inversible.
Une façon d’obtenir la matrice A−1 est de calculer successivement ses vecteurs colonnes
qui sont A−1 ej où ej = t [0, · · · , 0, 1, 0, · · · , 0] (1 placé au je rang). C’est pourquoi on va
chercher à résoudre (S) avec a = 0 et b = −ei , 1 ≤ i ≤ 5 en utilisant la formule (P). On
choisira k = 1/50.
1. Construire les matrices P et Q.
2. Écrire un script matlab de simulation de N itérations de la chaine {Xm }m≥0 , associée
à la matrice de transition Q, partant d’un entier i. Il conviendra de tester à chaque itération
l’arrêt de la chane (quand Xm = ∞) et de garder en mémoire toutes les valeurs prises par
Xm jusqu’à l’arrêt ou jusqu’à N (si l’arrêt n’a pas lieu avant).
+ On pourra se demander comment simuler une v.a. ne prenant qu’un nombre fini de
valeurs (comme Xm+1 − Xm par exemple) à l’aide de la loi uniforme sur [0,1].
Par la suite, il sera intéressant (pour un gain en temps) de vectoriser l’algorithme
1
5
précédent à savoir de simuler un vecteur t [Xm
, · · · , Xm
] où X0i = i pour un même tirage
aléatoire de la loi uniforme.
3. Écrire un script matlab pour approcher l’espérance dans (P ) en faisant la moyenne
de M C simulations de N itérations de la chane {Xm } (itérations obtenues par l’algorithme
précédent).
Peut-on avoir un encadrement pour les coefficients de A−1 ?
4. Que se passe-t-il si on choisit un autre réel k 0 > k ? Quel sens donner à ce paramètre ?
Comment influe-t-il sur la précision du résultat ?
3