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Lycée Dupuy de Lôme – 2016/2017
Mathématiques – ECS 1
D EVOIR MAISON N O 4
Pour le jeudi 3 novembre 2016
Toute réponse doit être soigneusement justifiée et rédigée.
E XERCICE 1 – I NFORMATIQUE
Vos programmes doivent être rédigés à la main et être correctement lisibles. Des commentaires
(précédés de //) seront appréciés. Un travail préliminaire au brouillon s’impose.
Profitez du devoir à la maison pour tester vos programmes sur une machine et éventuellement
les corriger...
1. Écrire un programme demandant à l’utilisateur un entier naturel n et affichant
n
X
k 4.
k=0
On utilisera une boucle for.
2. On reprend ici le programme du cours donnant la partie entière d’un réel positif ou nul.
(a) Écrire un programme qui demande à l’utilisateur un réel strictement négatif et qui
affiche sa partie entière.
(b) En déduire alors un programme complet qui demande à l’utilisateur un réel quelconque
et qui affiche sa partie entière.
E XERCICE 2 – D ÉNOMBREMENTS
Au loto sportif, le parieur remplit une grille dans laquelle il indique ses prévisions pour treize
matches de football à venir. Pour chaque match, il peut cocher au choix trois cases :
. « 1 » pour une victoire de l’équipe 1,
. « 2 » pour une victoire de l’équipe 2,
. « N » pour un match nul.
1. De combien de façons un parieur peut-il remplir la grille ?
2. Dénombrer les grilles pour lesquelles à l’issue des matches :
(a) toutes les réponses sont exactes ;
(b) toutes les réponses sont fausses ;
(c) exactement trois réponses sont exactes.
3. Pour gagner, il faut avoir coché au moins dix réponses exactes. Quel est le nombre de
grilles gagnantes ?
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Mathématiques – ECS 1
E XERCICE 3 – R ÉVISIONS SUR LES VECTEURS DU PLAN – A PPLICATIONS
On note E l’ensemble des vecteurs ~
u de coordonnées (x, y) dans le plan réel muni d’un repère.
On notera ~
u = (x, y) ∈ E .
Rappels sur les vecteurs
Si ~
u = (x, y) et λ ∈ R le vecteur λ~
u est le vecteur de coordonnées (λx, λy). On a donc :
λ~
u = (λx, λy)
Si ~
u = (x, y) et ~
v = (x 0 , y 0 ) le vecteur ~
u +~
v est le vecteur de coordonnées (x + x 0 , y + y 0 ). On a
donc :
~
u +~
v = (x + x 0 , y + y 0 )
Le vecteur nul est ~0 = (0, 0).
(
Deux vecteurs ~
u = (x, y) et ~
v = (x 0 , y 0 ) sont égaux si et seulement si
x = x0
y = y0
On considère l’application
f:
E → E
~
u = (x, y) 7→ f (~
u ) = (x + 3y, x − y)
1. Soient ~
u 1 = (1, 0), ~
u 2 = (0, 1) et ~
u 3 = u 1 + 2u 2 = (1, 2).
Calculer f (~
u 1 ), f (~
u 2 ), f (~
u 3 ) et enfin f (~
u 1 ) + 2 f (~
u 2 ). Que remarque-t-on ?
~ = (a, b) ∈ E . Déterminer l’ensemble des antécédents de w
~ par f .
2. Soit w
3. En déduire que f est bijective et donner son application réciproque.
4. On considère maintenant l’application g = f − 2idE .
(a) Déterminer, pour tout ~
u = (x, y) ∈ E , l’expression de g (~
u ).
¡ ¢
−1 ~
(b) Montrer que g
{0} = {~
u = (x, y) ∈ E | x − 3y = 0}. Représenter, dans le plan, cet
ensemble. L’application g est-elle injective ?
(c) On souhaite ici déterminer l’ensemble g (E ) = {g (~
u ),~
u ∈ E }.
~ = (λ, −λ), λ ∈ R}.
i. Montrer que g (E ) ⊂ {w
~ = (λ, −λ), pour tout λ ∈ R. En
ii. Déterminer un antécédent par g du vecteur w
~ = (λ, −λ), λ ∈ R} ⊂ g (E ).
déduire que {w
iii. Conclure.
(d) Que peut-on dire (avec le vocabulaire connu concernant les vecteurs) des vecteurs
~ = (λ, −λ) ? On pourra introduire le vecteur de coordonnées (1, −1).
de la forme w
Représenter dans le plan l’ensemble g (E ). L’application g est-elle surjective ?
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