Formule de Green 1 Opérateurs di érentiels 2 Signification des

TD M51
M1 MAI
Formule de Green
1 Opérateurs diérentiels
Soit n un entier on note x = (x1 , . . . , xn ) un point (ou vecteur) de Rn . En pratique n = 2 ou 3.
Dénition 1
On appelle champ de vecteurs une application v : Rn → Rn , qui à x = (x1 , . . . , xn ) associe v(x) = (v1 (x), . . . , vn (x)).
∂u
∂u
(x), . . . , ∂x
(x)).
Pour une fonction u : Rn → R, son gradient est le champ de vecteurs déni par ∇u(x) = ( ∂x
1
n
∂v1
∂vn
n
n
Pour un champ de vecteurs v : R → R on appelle divergence la fonction div v(x) = ∂x1 (x) + . . . + ∂xn (x). On
2
∂2u
appelle Laplacien d'une fonction u : Rn → R la fonction ∆u(x) = div(∇u) = ∂∂xu2 (x) + . . . + ∂x
2 (x).
1
n
Soit Ω un sous-ensemble de R (resp. R ), d'un seul tenant, borné, dont le bord est régulier sauf en un nombre
ni de points (resp. segments de droite) où peuvent gurer des coins d'angle non nul. On appelle un tel ensemble
un domaine de Rn .
2
3
Dénition 2
On appelle normale au domaine Ω un champ de vecteurs n(x) déni sur le bord ∂Ω de Ω et tel qu'en tout point
x ∈ ∂Ω où le bord est régulier, n(x) soit orthogonal au bord et unitaire (kn(x)k = 1). On appelle normale extérieure
une normale qui pointe vers l'extérieur du domaine en tout point.
On appelle dérivée normale d'une fonction régulière u sur le bord d'un domaine Ω la fonction dénie sur les points
∂u
(x) = ∇u(x) · n(x) (produit scalaire du vecteur ∇u(x) avec le vecteur n(x)).
réguliers de ∂Ω par ∂n
2 Signication des intégrales de surface ou de contour
2.1
En dimension deux
Soit Γ une courbe paramétrée régulière de R2 , {x(t) = (x1 (t), x2 (t)), t ∈ [a, b]}. On appelle intégrale d'une
fonction u sur Γ :
Z
Z b
u(x1 (t), x2 (t))kx0 (t)kdt,
udσ =
Γ
a
où kx0 (t)k = x01 (t)2 + x02 (t)2 . Si le bord d'un domaine comporte des coins, pour calculer une intégrale sur le
bord on décompose ce bord en morceaux réguliers, que l'on paramètre puis on somme les résultats obtenus par
la formule précédente.
p
2.2
En dimension trois
Soit Σ une surface régulière de R3 admettant un paramétrage {x(t, s) = (x1 (t, s), x2 (t, s), x3 (t, s)), (t, s) ∈
[a, b] × [c, d]}. On appelle intégrale d'une fonction u sur Σ :
Z bZ
Z
udσ =
Σ
où
∂x ∂x =
∧
∂t
∂s r
(
a
c
d
∂x ∂x dsdt,
∧
u(x1 (t, s), x2 (t, s), x3 (t, s)) ∂t
∂s ∂x1 ∂x2
∂x1 ∂x2 2
∂x1 ∂x3
∂x1 ∂x3 2
∂x2 ∂x3
∂x2 ∂x3 2
−
) +(
−
) +(
−
) .
∂t ∂s
∂s ∂t
∂t ∂s
∂s ∂t
∂t ∂s
∂s ∂t
Si le bord d'un domaine comporte des coins, ou s'il n'est pas paramétrable, on décompose l'intégrale sur son bord
sur chaque morceau régulier, que l'on paramètre puis on somme les résultats obtenus par la formule précédente.
3 Formule de la divergence et de Green
Soit Ω un domaine de R2 ou R3 , et n(x) sa normale extérieure. Soit u et v deux fonctions régulières, w un
champ de vecteurs dénis sur Ω. Alors
Z
Z
div w dx =
w · n dσ
(formule de la divergence)
Ω
∂Ω
Z
Z
Z
∂u
v dσ
(formule de Green)
(∆u)v dx = −
∇u · ∇v dx +
Ω
Ω
∂Ω ∂n