Système linéaire (rappel)

Système linéaire (rappel)
Un système linéaire s’exprime sous trois formes différentes :
1. d’un système d’équations
2. de produit matriciel A~x = ~b, ou bien, en représentant A par ses
colonnes
   
x1
b1
 ..   .. 
(~v1 · · · ~vm )  .  =  .  .
xm
bn
3. de combinaison linéaire :
x1~v1 + x2~v2 + · · · + xm~vm = ~b.
Sous espace vectoriel engendré (rappel)
On se donne une famille de vecteurs ~v1 , · · · ,~vm dans Rn , puis un
vecteur ~b dans Rn . Comment répondre :
Est-ce que ~b est une combinaison linéaire des ~vi ?
ou bien
Est-ce que ~b appartient au sous espace vectoriel engendré
par les ~vi ?
ou bien Est-ce que ~b ∈ h~v1 , · · · ,~vm i ?
On pose un système linéaire
x1~v1 + x2~v2 + · · · + xm~vm = ~b.
On le résout
 pour
 voir si ce système admet une ou plusieurs
x1
 .. 
solutions  .  .
Oui =Oui, Non=Non.
xm
Système lié ou libre
Soient ~v1 , · · · ,~vm un système de vecteurs. On se pose la question :
Est-ce qu’il existe des coefficients ak non tous nuls tels que
a1~v1 + a2~v2 + · · · + am~vm = ~0?
Si Oui, on dit que le système est lié (ou dépendant). Une telle
relation est appelée une relation d’annulation linéaire non triviale
(ou bien une relation de dépendance linéaire non triviale).
Si Non, on dit que le système est libre.
Comment répondre : Est-ce que ~v1 , · · · ,~vm sont liés ou libres ?
On pose et résout un système linéaire
x1~v1 + x2~v2 + · · · + xm~vm = ~0.
 
 
x1
0
 .. 
 .. 
S’il existe d’autres solutions  .  que  .  (qui est une solution
xm
0
évidente), le système est lié. Sinon il est libre.
Famille génératrice
Une famille de vecteurs dans Rn est un système générateur (ou
une famille génératrice) de Rn si tout autre vecteur de Rn
s’exprime en combinaison linéaire des vecteurs de ce système.
Comment répondre :
Est-ce que ~v1 , · · · ,~vm forment 
une
famille génératrice ?
b1
 
On prend un vecteur quelconque  ...  dans Rn .
bn
On pose un système linéaire
 
b1
 .. 
x1~v1 + x2~v2 + · · · + xm~vm =  . 
bn
(il faut traiter les bi comme des paramètres).
On le résout pour voir s’il existe toujours une solution (indépendant
des valeurs des bi ). Oui = génératrice.
Base . Une famille de vecteurs ~v1 , · · · ,~vm est une base de Rn si
la famille est à la fois libre et génératrice.
Théorème : Dans ce cas tout vecteur ~b de Rn s’exprime en
a1~v1 + a2~v2 + · · · + am~vm = ~b. et l’expression est unique. Les ai
sont les coordonnées de ~b dans cette base.
Preuve. On prend un vecteur quelconque ~b ∈ Rn . Puisque la famille
est une famille génératrice, ce ~b s’exprime en combinaison linéaire
des ~vi .
Unicité : Si jamais on a deux expressions
a1~v1 + a2~v2 + · · · + am~vm = ~b.
0 ~
vm = ~b.
a10 ~v1 + a20 ~v2 + · · · + am
on soustrait l’une à l’autre :
0 )~
(a1 − a10 )~v1 + (a2 − a20 )~v2 + · · · + (am − am
vm = ~0.
Comme le système est libre, tous les coefficients sont nuls. Donc
ai = ai0 pour tout i. Donc les deux expressions sont en effet
identiques. Fin de la preuve.
Comptage
Théorème fondamental : Dans Rn :
1. Un système de n − 1 vecteurs ou moins n’est jamais générateur
(il manque certainement des pivots)
2. Un système de n + 1 vecteurs ou plus n’est jamais libre (il y a
certainement des colonnes non pivotales)
3. Une base a exactement n vecteurs.
4. Tout système libre se complète (facilement) en une base.
5. De tout système générateur on peut extraire une base (en
prenant les colonnes pivotales).
Ainsi, dans R2 , deux vecteurs quelconques non co-linéaires
constituent une base. Exemples. Et dans R3 ?
Interprétation géométrique