doc91 Les vecteurs du plan 92 Rappels
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91 Les vecteurs du plan 92 Rappels
Notion de vecteur Coordonnées de vecteurs Somme de deux vecteurs Différence de vecteurs Produit d’un vecteur par un réel [ Les vecteurs du plan \ Rappels Lycée du golfe de Saint Tropez Année 2015/2016 Première S ( Lycée du golfe de Saint Tropez) Vecteurs Année 2015/2016 1 / 16 Notion de vecteur Coordonnées de vecteurs Somme de deux vecteurs Différence de vecteurs Produit d’un vecteur par un réel 1 Notion de vecteur Définitions Égalité de deux vecteurs 2 Coordonnées de vecteurs Définitions Propriétés 3 Somme de deux vecteurs Construction Relation de Chasles Somme de vecteurs de même origine Coordonnées de la somme 4 Différence de vecteurs 5 Produit d’un vecteur par un réel Définition Complément Coordonnées du produit d’un vecteur par un réel Première S ( Lycée du golfe de Saint Tropez) Vecteurs Année 2015/2016 2 / 16 Notion de vecteur Coordonnées de vecteurs Somme de deux vecteurs Différence de vecteurs Produit d’un vecteur par un réel Définitions Égalité de deux vecteurs I) Notion de vecteur a) Définitions et vocabulaire Définition → − Un vecteur u non nul peut être représenté par deux points A et B. Il est caractérisé par: Sa direction, celle de la droite (AB) ; Son sens, c’est à dire de A vers B ; Sa norme, c’est la distance AB. Première S ( Lycée du golfe de Saint Tropez) Vecteurs Année 2015/2016 3 / 16 Notion de vecteur Coordonnées de vecteurs Somme de deux vecteurs Différence de vecteurs Produit d’un vecteur par un réel Définitions Égalité de deux vecteurs I) Notion de vecteur a) Définitions et vocabulaire Définition → − Un vecteur u non nul peut être représenté par deux points A et B. Il est caractérisé par: Sa direction, celle de la droite (AB) ; Son sens, c’est à dire de A vers B ; Sa norme, c’est la distance AB. La norme d’un vecteur se note → − −→ || u || ou ||AB || Première S ( Lycée du golfe de Saint Tropez) Vecteurs Année 2015/2016 3 / 16 Notion de vecteur Coordonnées de vecteurs Somme de deux vecteurs Différence de vecteurs Produit d’un vecteur par un réel Définitions Égalité de deux vecteurs I) Notion de vecteur a) Définitions et vocabulaire La norme d’un vecteur se note → − −→ || u || ou ||AB || −→ −→ → − Le vecteur AA = BB = · · · s’appelle le vecteur nul, on le note 0 Il n’a pas de direction (donc pas de sens) et sa longueur est nulle. Première S ( Lycée du golfe de Saint Tropez) Vecteurs Année 2015/2016 3 / 16 Notion de vecteur Coordonnées de vecteurs Somme de deux vecteurs Différence de vecteurs Produit d’un vecteur par un réel Définitions Égalité de deux vecteurs I) Notion de vecteur a) Définitions et vocabulaire La norme d’un vecteur se note → − −→ || u || ou ||AB || −→ −→ → − Le vecteur AA = BB = · · · s’appelle le vecteur nul, on le note 0 Il n’a pas de direction (donc pas de sens) et sa longueur est nulle. −→ −→ Les vecteurs AB et BA ont la même direction, la même longueur mais sont de sens contraire, on dit qu’ils sont opposés et on note: −→ −→ BA = −AB Première S ( Lycée du golfe de Saint Tropez) Vecteurs Année 2015/2016 3 / 16 Notion de vecteur Coordonnées de vecteurs Somme de deux vecteurs Différence de vecteurs Produit d’un vecteur par un réel Définitions Égalité de deux vecteurs b) Égalité de deux vecteurs Les trois caractéristiques des vecteurs non nuls: −→ −−→ Dire que AB = CD signifie que : −→ −−→ AB et CD ont la même direction c’est à dire (AB) et (CD) sont parallèles. −→ −−→ AB et CD ont le même sens. −→ −−→ AB et CD ont la même norme c’est à dire AB = CD. Première S ( Lycée du golfe de Saint Tropez) Vecteurs Année 2015/2016 4 / 16 Notion de vecteur Coordonnées de vecteurs Somme de deux vecteurs Différence de vecteurs Produit d’un vecteur par un réel Définitions Égalité de deux vecteurs b) Égalité de deux vecteurs Parallélogramme : −→ −−→ AB = CD si et seulement si ABDC est un parallélogramme éventuellement aplati. B D A C Première S ( Lycée du golfe de Saint Tropez) ABDC est un parallélogramme éventuellement aplati. Vecteurs Année 2015/2016 4 / 16 Notion de vecteur Coordonnées de vecteurs Somme de deux vecteurs Différence de vecteurs Produit d’un vecteur par un réel Définitions Égalité de deux vecteurs b) Égalité de deux vecteurs Parallélogramme : −→ −−→ AB = CD si et seulement si ABDC est un parallélogramme éventuellement aplati. B D A C Première S ( Lycée du golfe de Saint Tropez) ABDC est un parallélogramme éventuellement aplati. Vecteurs Année 2015/2016 4 / 16 Notion de vecteur Coordonnées de vecteurs Somme de deux vecteurs Différence de vecteurs Produit d’un vecteur par un réel Définitions Égalité de deux vecteurs Exercice Les droites de même couleur sont parallèles. A + F + B G + + C + + + D E 1 −−→ Donner tous les vecteurs égaux au vecteur GB . 2 −−→ Donner tous les vecteurs qui ont la même direction que le vecteur GA . 3 Donner tous les vecteurs qui ont la même direction et le même sens que le −−→ vecteur GC . Première S ( Lycée du golfe de Saint Tropez) Vecteurs Année 2015/2016 5 / 16 Notion de vecteur Coordonnées de vecteurs Somme de deux vecteurs Différence de vecteurs Produit d’un vecteur par un réel Définitions Propriétés II) Coordonnées de vecteurs a) Définition Définition → − Dans un repère (O ; I ; J), les coordonnées d’un vecteur u sont celles du point M tel −−→ → − que OM = u − → u M J O Première S ( Lycée du golfe de Saint Tropez) I Vecteurs Année 2015/2016 6 / 16 Notion de vecteur Coordonnées de vecteurs Somme de deux vecteurs Différence de vecteurs Produit d’un vecteur par un réel Définitions Propriétés II) Coordonnées de vecteurs a) Définition − → u M J O I Notation µ ¶ → − x On notera les coordonnées des vecteurs sous la forme suivante : u y Première S ( Lycée du golfe de Saint Tropez) Vecteurs Année 2015/2016 6 / 16 Notion de vecteur Coordonnées de vecteurs Somme de deux vecteurs Différence de vecteurs Produit d’un vecteur par un réel Définitions Propriétés b) Propriétés Propriété 1 µ ¶ µ ¶ → − x → − x′ Dans un repère (O ; I ; J), on considère les vecteurs u et v ′ y y → − → − u =v Première S ( Lycée du golfe de Saint Tropez) si et seulement si Vecteurs x = x′ et y = y ′ Année 2015/2016 7 / 16 Notion de vecteur Coordonnées de vecteurs Somme de deux vecteurs Différence de vecteurs Produit d’un vecteur par un réel Définitions Propriétés b) Propriétés Propriété 1 µ ¶ µ ¶ → − x → − x′ Dans un repère (O ; I ; J), on considère les vecteurs u et v ′ y y → − → − u =v si et seulement si x = x′ et y = y ′ Propriété 2 Dans un repère (O ; I ; J), Si A(xA ; yA ) et B(xB ; yB ) alors Première S ( Lycée du golfe de Saint Tropez) Vecteurs ¶ µ −→ xB − xA AB yB − yA Année 2015/2016 7 / 16 Notion de vecteur Coordonnées de vecteurs Somme de deux vecteurs Différence de vecteurs Produit d’un vecteur par un réel Définitions Propriétés Exemple: Dans un repère (O ; I ; J), on considère les points B(−1 ; 2, 5) C(5 ; − 0, 5) E(1 ; − 1) U(3 ; 3) −−→ −−→ 1 Calculer les coordonnées des vecteurs CE et UB . 2 Que peut-on en déduire? Première S ( Lycée du golfe de Saint Tropez) Vecteurs Année 2015/2016 8 / 16 Notion de vecteur Coordonnées de vecteurs Somme de deux vecteurs Différence de vecteurs Produit d’un vecteur par un réel Construction Relation de Chasles Somme de vecteurs de même origine Coordonnées de la somme II) Somme de deux vecteurs a) Construction → − → − Pour construire la somme des vecteurs u et v d’origine A: → − u −v → A Première S ( Lycée du golfe de Saint Tropez) + Vecteurs Année 2015/2016 9 / 16 Notion de vecteur Coordonnées de vecteurs Somme de deux vecteurs Différence de vecteurs Produit d’un vecteur par un réel Construction Relation de Chasles Somme de vecteurs de même origine Coordonnées de la somme II) Somme de deux vecteurs a) Construction → − → − Pour construire la somme des vecteurs u et v d’origine A: −→ → − On construit le point B tel que AB = u → − u → − u −v → B + A Première S ( Lycée du golfe de Saint Tropez) + Vecteurs Année 2015/2016 9 / 16 Notion de vecteur Coordonnées de vecteurs Somme de deux vecteurs Différence de vecteurs Produit d’un vecteur par un réel Construction Relation de Chasles Somme de vecteurs de même origine Coordonnées de la somme II) Somme de deux vecteurs a) Construction → − → − Pour construire la somme des vecteurs u et v d’origine A: −−→ → −→ → − − On construit le point B tel que AB = u puis on construit le point C tel que BC = v −v → B → − u −v → → − u + + A Première S ( Lycée du golfe de Saint Tropez) C + Vecteurs Année 2015/2016 9 / 16 Notion de vecteur Coordonnées de vecteurs Somme de deux vecteurs Différence de vecteurs Produit d’un vecteur par un réel Construction Relation de Chasles Somme de vecteurs de même origine Coordonnées de la somme II) Somme de deux vecteurs a) Construction → − → − Pour construire la somme des vecteurs u et v d’origine A: −−→ → −→ → − − On construit le point B tel que AB = u puis on construit le point C tel que BC = v −v → B → − u −v → → − u + − − → → u +v A Première S ( Lycée du golfe de Saint Tropez) + C + Vecteurs Année 2015/2016 9 / 16 Notion de vecteur Coordonnées de vecteurs Somme de deux vecteurs Différence de vecteurs Produit d’un vecteur par un réel Construction Relation de Chasles Somme de vecteurs de même origine Coordonnées de la somme b) Relation de Chasles Propriété −→ −−→ −−→ Pour tous points A, B et C on a AB + BC = AC Cette égalité est appelée relation de C HASLES. Première S ( Lycée du golfe de Saint Tropez) Vecteurs Année 2015/2016 10 / 16 Notion de vecteur Coordonnées de vecteurs Somme de deux vecteurs Différence de vecteurs Produit d’un vecteur par un réel Construction Relation de Chasles Somme de vecteurs de même origine Coordonnées de la somme c) Somme de vecteurs de même origine −→ −−→ Pour construire la somme des vecteurs AB et AC B → − u b A b → − v b C Première S ( Lycée du golfe de Saint Tropez) Vecteurs Année 2015/2016 11 / 16 Notion de vecteur Coordonnées de vecteurs Somme de deux vecteurs Différence de vecteurs Produit d’un vecteur par un réel Construction Relation de Chasles Somme de vecteurs de même origine Coordonnées de la somme c) Somme de vecteurs de même origine −→ −−→ Pour construire la somme des vecteurs AB et AC On construit le point D tel que ABDC soit un parallélogramme B b → − u b A b D − → − +v → u → − v b C Première S ( Lycée du golfe de Saint Tropez) Vecteurs Année 2015/2016 11 / 16 Notion de vecteur Coordonnées de vecteurs Somme de deux vecteurs Différence de vecteurs Produit d’un vecteur par un réel Construction Relation de Chasles Somme de vecteurs de même origine Coordonnées de la somme d) Coordonnées de la somme Propriété Dans un repère (O ; I ; J), Si Première S ( Lycée du golfe de Saint Tropez) µ ¶ µ ¶ → − x → − x′ u et v ′ y y alors Vecteurs ¶ µ → − → − x + x′ u +v y + y′ Année 2015/2016 12 / 16 Notion de vecteur Coordonnées de vecteurs Somme de deux vecteurs Différence de vecteurs Produit d’un vecteur par un réel IV Différence de vecteurs Définition → − → − Pour tous vecteurs u et v → − → − → − ³ → −´ u − v = u + −v → − − v est le vecteur qui a la même direction, la même longueur mais le sens opposé → − que v → − u → − v + Première S ( Lycée du golfe de Saint Tropez) Vecteurs A Année 2015/2016 13 / 16 Notion de vecteur Coordonnées de vecteurs Somme de deux vecteurs Différence de vecteurs Produit d’un vecteur par un réel IV Différence de vecteurs Définition → − → − Pour tous vecteurs u et v → − → − → − ³ → −´ u − v = u + −v → − − v est le vecteur qui a la même direction, la même longueur mais le sens opposé → − que v → − v B → − u → − u + + Première S ( Lycée du golfe de Saint Tropez) Vecteurs A Année 2015/2016 13 / 16 Notion de vecteur Coordonnées de vecteurs Somme de deux vecteurs Différence de vecteurs Produit d’un vecteur par un réel IV Différence de vecteurs Définition → − → − Pour tous vecteurs u et v → − → − → − ³ → −´ u − v = u + −v → − − v est le vecteur qui a la même direction, la même longueur mais le sens opposé → − que v C + → − v − − v→ B → − u → − u + + Première S ( Lycée du golfe de Saint Tropez) Vecteurs A Année 2015/2016 13 / 16 Notion de vecteur Coordonnées de vecteurs Somme de deux vecteurs Différence de vecteurs Produit d’un vecteur par un réel IV Différence de vecteurs Définition → − → − Pour tous vecteurs u et v → − → − → − ³ → −´ u − v = u + −v → − − v est le vecteur qui a la même direction, la même longueur mais le sens opposé → − que v C + → − v − − v→ B → − u → − u − − → → u −v + + Première S ( Lycée du golfe de Saint Tropez) Vecteurs A Année 2015/2016 13 / 16 Notion de vecteur Coordonnées de vecteurs Somme de deux vecteurs Différence de vecteurs Produit d’un vecteur par un réel Définition Complément Coordonnées du produit d’un vecteur par un réel IV) Produit d’un vecteur par un réel a) Définition Définition A et B désignent deux points distincts et k un nombre réel strictement positif. −−→ −→ Si AC = kAB , alors C est le point de la demi-droite [AB) tel que AC = k AB −→ −−→ Si AD = −kAB , alors D est le point de la droite (AB) qui n’est pas sur la demi-droite [AB) tel que AD = k AB C 3 −→ −−→ AD = − AB 2 + B + −−→ −→ AC = 3AB A + D + Première S ( Lycée du golfe de Saint Tropez) Vecteurs Année 2015/2016 14 / 16 Notion de vecteur Coordonnées de vecteurs Somme de deux vecteurs Différence de vecteurs Produit d’un vecteur par un réel Définition Complément Coordonnées du produit d’un vecteur par un réel b) Complément Par convention : → − Pour tout vecteur u , Pour tout réel k, Première S ( Lycée du golfe de Saint Tropez) → − → − 0u = 0 → − → − k0 = 0 Vecteurs Année 2015/2016 15 / 16 Notion de vecteur Coordonnées de vecteurs Somme de deux vecteurs Différence de vecteurs Produit d’un vecteur par un réel Définition Complément Coordonnées du produit d’un vecteur par un réel b) Complément Par convention : → − Pour tout vecteur u , Pour tout réel k, → − → − 0u = 0 → − → − k0 = 0 Propriété → − → − ku = 0 Première S ( Lycée du golfe de Saint Tropez) si et seulement si Vecteurs → − → − k = 0 ou u = 0 . Année 2015/2016 15 / 16 Notion de vecteur Coordonnées de vecteurs Somme de deux vecteurs Différence de vecteurs Produit d’un vecteur par un réel Définition Complément Coordonnées du produit d’un vecteur par un réel c) Coordonnées du produit d’un vecteur par un réel Propriété Dans un repère (O ; I ; J), Si Première S ( Lycée du golfe de Saint Tropez) µ ¶ → − x u et k un réel y Vecteurs alors µ ¶ → − k×x ku k×y Année 2015/2016 16 / 16
