machine à équilibrer les roues d`automobile

MACHINE A ÉQUILIBRER LES ROUES D’AUTOMOBILE
CORRIGE
1. CALCULS PRELIMINAIRES
1.1. Torseur dynamique de S dans son mouvement par rapport au bâti b

a G,S / b
d’où
d2
d2  
OG
(ax by
dt 2
dt 2

d   
(bz cy) (bz
dt


Rd,S/ b m[(b c 2 )z
  
  
d 
d 
x (ax by cz)
S / b (ax by cz)
dt
dt


 
 
 
cy)  x  (bz cy) (bz cy)  2 ( by cz)

cz)

(c b 2 )y)]

Le point O étant fixe par rapport au bâti :

O,S / b
IO,S
A
F
E


S/ b

E 
D 0
C 0
F
B
D
d 
dt O,S/ b
O,S / b
et
Rb



A x F  y E z

d
(Ax Fy Ez)  x  (Ax Fy Ez)
O,S / b
S/ b
O,S / b
dt
R




A x (F E ² ) y (E F 2 )z
d’où
O,S/ b
O,S / b
1.2. Écrivons le principe fondamental de la dynamique :
X
Xe
m(c b  ²) Ye
Z m(b c  2 ) Ze
Y
et
0 A Le
M F E  ² Me
N
E F  ² N
e
Pour éviter les vibrations il faut rendre l’action mécanique de S sur le bâti indépendante du mouvement
de S par rapport à 0 c’est à dire de  et  .
D’après les équations précédentes les conditions d’équilibrage sont donc :
de rotation (équilibrage dit statique).
b c 0 : le centre d’inertie G est sur l’axe

F 0 et E 0 : l’axe de rotation (O, x) est principal d’inertie.
2. ÉQUILIBRAGE DE LA ROUE
2.1. Détermination des caractéristiques d’inertie de la roue
2.1.1. Torseur dynamique en O de l’ensemble 2+3
L’ensemble roue-arbre tourne à vitesse constante




Rd,(2 3) /1 m2aG2 ,2 /1 maG,3/1 maG,3/1

 
Rd,(2 3)/1
m 2 (b y cz) en faisant  0 et 


O,( 2 3)/1

O,( 2 3)/1

O,2 /1

O,3/1


(Ey Fz)
2
O,2 /1
 
J x 0
.

( aG2 ,2 /1

0 car G2 est sur l’axe de rotation)
dans l’équation établie précédemment.
( est constant)
(Résultat établi précédemment avec 
1
0 et 
)
2.1.2. Principe fondamental appliqué à l’ensemble 2+3 à l’instant t1




A l’instant t1 : y y1 et z z1

Théorème de la résultante dynamique en projection sur z .

(R palier2
2

R palier1
Z1 Z2 0 0

R pesanteur
2
mc
2

 
Rcourroie 2 ).z Rd,(2
(2 3)
Z1 Z2
;
mc

3) /1.z
2

Théorème du moment dynamique en O en projection sur y .




 

(MO,palier2 2 MO,palier1 2 MO,pesanteur (2 3) MO,courroie 2 ).y O,(2 3) /1.y

 


2
OO' (Z2z Y2' y).y 0 0 0 E 2 ; d x Z2z. y E 2 ; d Z2 E

Le poids et l’action de la courroie qui sont de direction y1 interviennent dans des produits mixtes qui


s’annulent puisqu’ils contiennent deux fois le vecteur y (ou y1 ).
2.1.3. Principe fondamental appliqué à l’ensemble 2+3 à l’instant t2



A l’instant t2 : y z1 et z

y1 .

Théorème de la résultante dynamique en projection sur y :
Y1 Y2

Théorème du moment dynamique en O en projection sur z : dY2
mb
F
2
2

Le poids et l’action de la courroie qui sont de direction y1 interviennent dans des produits mixtes qui


s’annulent puisqu’ils contiennent deux fois le vecteur z (ou y1 ).
2.1.4. Caractéristiques d’inertie
E
d Z2
dY2
F
2
2
c
Z1 Z2
m 2
b
Y1 Y2
m 2
2.2. Détermination des masselottes
 
2.2.1 Produit d’inertie E3 et F3 de la matrice d’inertie de la roue en O3 dans (x, y, z)
IO3 ,3
IG,3
IO3 ,G( m) et IO,3
IG,3
IO,G( m)
d’où IO3 ,3
IO,3
IO,G( m)
a f
EG( m)
xzdm acm et FG( m)
et
OG
O3G
b
c
E3 E mac m(a f )c E mcf
et F3 F mab m(a f )b F mbf
1
1
E3
[f Z1 (d f )Z2 ] ; F3
[f Y1 (d f )Y2 ]
2
2
a
b
c
IO3 ,G( m)
xydm abm
 
2.2.2 Produit d’inertie E(4+5) et F(4+5) de la matrice d’inertie des masselottes en O3 dans (x, y, z)
O3M4
E( 4
5)
e
r cos
r sin
O3M5
et
4
4
m5er sin
5
m4er sin
4
et
F( 4
2
5)
e
r cos
r sin
 
dans (x, y, z) .
5
5
m5er cos
5
m4er cos
4
2.2.3 Conditions d’équilibrage
yG(3
4 5)
0
mb m4r cos
zG(3
4 5)
0
mc m4r sin
E3
4 5
E3 m5er sin
F3
4 5
F3 m5er cos
4
m5r cos
m5r sin
0
5
5
0
m5 cos
5
m4 cos
m5 sin
5
m4 sin
4
4
m4er sin
4
0
m5 sin
5
m4 sin
m4er cos
4
0
m5 cos
5
m4 cos
5
5
4
4
4
mb
r
mc
r
E3
er
F3
er
d’où :
m4
1
2
m5
1
2
2m4 cos
2m4 sin
cos
(1) (4)
2
(1) (4)
2
(2) (3)
2
(1) (4) d’où cos
4
(2) (3) d’où
4
5
(2) (3)
2
sin
soit
soit
m4
1
2
F3
er
mb
r
m5
1
2
mb
r
F3
er
4
1 F3
2m4 er
mb
r
4
1 E3
2m4 er
mc
r
1 mb F3
2m5 r er
et
sin
5
2
2
E3
er
mc
r
mc
r
E3
er
2
2
Les sinus et cosinus sont
nécessaires pour définir les
angles entre 0 et 2 .
1 mc E3
2m5 r
er
Soit en fonction des relevés des capteurs (non demandé) :
avec : c
Z1 Z2
; b
m 2
Y1 Y2
; E3
m 2
1
2
[f Z1 (d f )Z2 ] ; F3
1
2
[f Y1 (d f )Y2 ]
d’où :
m4
1
2e r
2
(e f )Y1 (d e f )Y2
2
(e f )Z1 (d e f )Z2
2
1
2
2
(f e)Y1 (d e f )Y2
(f e)Z1 (d e f )Z2
2
2e r
(e f )Y1 (d e f )Y2
(e f )Z1 (d e f )Z2
et
cos 4
sin
4
2m4er 2
2m4er 2
m5
cos
5
(e f )Y1 (d e f )Y2
2m5er 2
et
sin
3
5
(e f )Z1 (d e f )Z2
2m5er 2
(1)
(2)
(3)
(4)