Exercices corrigés du cours de VIBRATIONS et ACOUSTIQUE

ECOLE NATIONALE SUPERIEURE D'INGENIEURS DU MANS - UNIVERSITE DU MAINE
Exercices corrigés
(sujets d'examens de 2006 à 2009)
du cours de
VIBRATIONS et ACOUSTIQUE
Jean-Claude Pascal
2
ENSIM - 2eme Année
Vibrations et Acoustique 2
Ces sujets corrigés d'examen sont donnés comme des aides à la compréhension du cours.
Des erreurs peuvent toujours se trouver dans les corrigés : prière de les signaler à
[email protected]
ENSIM
2eme Année
Juin 2006
EXAMEN VIBRATIONS & ACOUSTIQUE 2
Problème 1 : modélisation de la mesure des pertes par insertion (7/20)
Dans le polycopié p.107-108 une modélisation des pertes de transmission est présentée en
utilisant les éléments de la matrice de transfert T d'un silencieux. A partir de la mesure de la
puissance acoustique W0 à l'extrémité du tube de section S 0 sans silencieux et de la puissance
acoustique W1 avec un simple silencieux à chambre d'expansion de section S , la perte par
insertion est définie par
W
IL = 10 log 0
[en dB]
W1
S0
source
W0
L
lA
source
S
lB
silencieux
T
W1
Les deux configurations conduisant à W0 et W1 sont modélisées à l'aide des circuits
équivalents suivants :
pi
Ze
Zs
T0
 ps 
 
 Qs  0
 pe 
 
 Qe  0
pi
Ze
T1
T2
Zs
T3
 ps 
 
 Q s 1
 pe 
 
 Qe 1
1) Exprimer les matrices de transfert T0 , T1 , T2 et T3 en fonction des paramètres qui sont
donnés sur les dessins.
2) Expliquer à quoi correspond Z s .
3) Sans effectuer les calculs, expliquez la démarche que vous employez pour calculer W0
et W1 .
4) Est-ce que la perte par insertion est équivalente aux pertes par transmission ? Donner
deux arguments pour étayer votre réponse.
1
Problème 2 : dimension d'un pavillon exponentiel (9/20)
L'extrémité d'un tube de diamètre 20 mm rayonne en espace libre. On constate qu'il y a peu
d'émission dans les basses fréquences. Pour améliorer la transmission des fréquences graves
au-dessus de 200 Hz, on décide d'utiliser en sortie de tube un pavillon exponentiel.
En considérant qu'il n'y a que des ondes planes dans le tube, répondre aux questions suivantes:
1) Le front d'onde à l'extrémité du pavillon vibre comme un piston. Montrer que son
facteur de rayonnement peut s'exprimer par
Z 
p
σ = Re r  , avec l'impédance de rayonnement Z r =
ux
 ρ 0c 
2) En considérant que l'impédance de rayonnement de l'extrémité du pavillon correspond
à l'expression asymptotique basse fréquence de celle du tube non-bafflé (cours),
calculer le diamètre de sortie du pavillon pour qu'à 200 Hz le facteur de rayonnement
soit de –3 dB,
3) Expliquer quelle va être l'influence de la longueur du pavillon exponentiel dans la
transmission des basses fréquences ?
4) Calculer la plus petite longueur que doit avoir le pavillon pour transmettre les
fréquences supérieures à 200 Hz.
Problème 3 : rayonnement du piston (4/20)
Un piston circulaire monté dans un baffle infini rayonne en espace libre.
1) Expliquer comment calculer les fréquences qui correspondent à une pression nulle sur
le plan du baffle en champ lointain
2) Comment pourriez vous exprimer en fonction de la fréquence l'angle θ 0 qui
correspond à un affaiblissement de 3 dB du lobe principal ?
Remarque : vous pouvez dire que x0 est l'argument pour lequel une fonction f
valeur y 0 = f ( x0 ) .
2
prend la
Corrigé Vibrations & Acoustique 2 – juin 2006
Problème 1 : modélisation de la mesure des pertes par insertion
1) Matrices de transfert : ce sont dans tous les cas des conduits droits dont seuls changent les
diamètres et les longueurs. Avec la forme standard (pQ) en considérant Q1 = ρ 0 S u1 et
Q 2 = ρ 0 S u 2 (cours)

 cos kl
 p2 
avec
T
=
 s
Q 
 2
 j sin kl
 c
l = l A + L + lB
l = lA
l=L
l = lB
 p1 
Q  = T
 1
avec
T0 ⇒
T1 ⇒
T2 ⇒
T3 ⇒
s = S 0 et
s = S 0 et
s = S et
s = S 0 et
c

j sin kl 
s

cos kl 

2) Z s correspond à l'impédance de sortie de tube, vraisemblablement l'impédance du tube
ouvert dont on pourra prendre l'approximation basse fréquence ( k S 0 π < 1 ) de Levine et
Schwinger.
3) Dans les deux cas, il faut calculer la puissance en sortie de tube : la source et l'impédance
de sortie sont les mêmes. Seule change la matrice globale T :
pour W0 , T = T0 et pour W1 , T = T1 T2 T3
2
S p
S
La puissance de sortie ( W0 ou W1 ) s'exprime par W = 0 Re p s u s∗ = 0 s . Par ailleurs,
2
2 Re{Z s }
on peut écrire pi = p e + Z i Qe ρ 0 S 0 , où pi et Z i sont des invariants, respectivement la
pression interne et l'impédance interne de la source. Il est donc possible d'écrire la pression de
sortie pe (donc W ) en fonction de T , pi et Z i .
Attention : avec les pertes par insertion, la puissance incidente n'est pas la m^me dans les
deux configurations car la matrice globale T change. La source voit donc une impédance
d'entrée différente.
{
}
4) Les pertes par insertion ne sont pas équivalentes aux pertes par transmission :
a) pour les pertes par transmission l'impédance de sortie est l'impédance caractéristique,
b) la longueur du tube de sortie l B influence le résultat pour les pertes par insertion, alors
que ce n'est pas le cas pour les pertes par transmission car celui-ci est considéré infini,
c) la longueur du tube d'entré joue aussi un rôle en modifiant la matrice globale T .
Problème 2 : dimension d'un pavillon exponentiel
1) Facteur de rayonnement en fonction de l'impédance de rayonnement Z r =
σ=
W
ρ 0 cS u
2
avec la puissance acoustique rayonnée W =
2
3
S
2
{
}
Re p u ∗ =
p
ux
S 2
u Re{Z r }
2
d'où σ = Re{Z r ρ 0 c}.
[
]
2
2
2) Pour un tube non-bafflé Z r = ρ 0 c (ka ) 4 + j 0.61ka donc σ = (ka ) 4 où a est le rayon
de l'extrémité du pavillon. Pour f 0 = 200 Hz, Lσ = −3 dB, soit σ = 1 2 . On peut donc
calculer le diamètre D de l'extrémité du pavillon :
(ka )2 = 2 conduit à 2πf 0 a = c 2 et D = 2a = c 2 = 344 2 = 0.774 m.
π f0
π 200
3) Le pavillon exponentiel ne transmet pas les basses fréquences dès que la variation de
section n'est plus faible devant la longueur d'onde. En dessous de la fréquence de coupure
f c = cα (4π ) l'onde devient évanescente et ne transporte pas d'énergie ( α représente la
variation de la section en fonction de la distance : voir cours).
4) Le diamètre en sortie du pavillon peut s'exprimer en fonction de celui du tube cylindrique
d'entrée
α
L
D α
D = d e2
soit encore
ln = L
d
2
D (0.774 m) et d (0.02 m) sont imposés et α est obtenu à partir de la condition
f c < f 0 = 200 Hz, soit α = 4π f c c < 4π f 0 c , ce qui permet de calculer la longueur du
pavillon
c
D
2 D
344
0.774
L = ln >
ln =
ln
= 1m
α d 2π f 0 d 2π 200 0.02
Problème 3 : rayonnement du piston
ka 2 e − jkr  2J 1 (ka sin θ ) 
La pression rayonnée en champ lointain s'écrit p(r ,θ ) = jρ 0 cv0
2 r  ka sin θ 
avec a le rayon du piston.
1) En champ lointain sur le plan du baffle θ = π 2 (90°), la pression s'annule pour les zéros
de la fonction 2J 1 ( x ) x , x = ka . En dehors de x = 0 , ces zéros sont aussi ceux de J 1 ( x ) qui
correspondent à x n ( n = {1, 2,L, ∞} ). Les fréquences correspondantes sont
c xn
2π f n a c = x n , soit f n =
.
2π a
2) L'angle θ 0 qui correspond à un affaiblissement de 3 dB se définit par
20 log
Soit x0 tel que
p(r ,θ 0 )
p(r ,0)
= −3 dB, soit
2J 1 (ka sin θ 0 )
2J (x )
1
=
car 1
→ 1 quand x → 0
ka sin θ 0
x
2
2J 1 (x 0 )
1
→
, ka sin θ 0 = x0 et
x0
2
x
cx0
.
θ 0 = arcsin 0 = arcsin
ka
2π f a
4
ENSIM
2eme Année
Avril 2007
EXAMEN VIBRATIONS & ACOUSTIQUE 2
Exercice 1
Un barre de section uniforme A , de longueur l , de masse volumique ρ et de module de
Young E est encastrée à une de ses extrémités. A l'autre extrémité est fixée une masse
ponctuelle égale à la masse de la barre elle-même.
m = Aρ l
x
A
0
l
1) Exprimer les conditions aux limites en considérant le déplacement sous la forme
w( x, t ) = X ( x )T (t )
2) Exprimer l'équation caractéristique ou équation aux fréquences.
3) En utilisant une expression approchée tan (σ n l ) ≈ σ n l − (n − 1)π quand (ω n l ) est
proche de (n − 1)π , donner les pulsations naturelles de la barre.
4) Pour la première pulsation naturelle, utiliser une approximation de la tangente exacte
u3
au second ordre ( tan u ≈ u +
) pour améliorer l'estimation.
3
Exercice 2
Une plaque simplement supportée de dimension a × b (épaisseur h ) est excitée en deux
points r1 = ( x1 , y1 ) et r2 = ( x 2 , y 2 ) , respectivement par des forces F1 (t ) et F2 (t ) .
y
b
0
0
a
x
1) Exprimer les fréquences propres de la plaque.
2) Ecrire la réponse forcée de la plaque dans le cas général, pour les forces d'excitation
suivantes : F1 (t ) = F1 e jωt et F2 (t ) = F2 e jωt
On considère que le taux d'amortissement ζ est identique pour chaque mode.
3) Déterminer les conditions pour que la force modale généralisée correspondant à ces deux
forces soit nulle.
4) La plaque est excitée par des forces correspondant chacune à un signal de période T et
telles que F2 = − F1 .
∞
F1 (t ) = A∑
n =0
Les points d'application sont
( x 1 = c,
(−1) n
cos((2n + 1)ωT t )
2n + 1
y1 = b 2 ) et
( x 2 = a − c,
y2 = b 2 )
a) Quels sont les modes excités ?
b) Exprimer le signal capté par un accéléromètre placé au point ( x3 = a 2 , y3 = b 4 )
c) Exprimer le signal capté par un accéléromètre placé au point ( x 4 = a 4 , y 4 = b 4 )
Corrigé
Exercice 1
1) La solution recherchée pour le déplacement longitudinal se présente sous la forme d'un
produit de deux fonctions w( x, t ) = X ( x )T (t ) ,qui introduit dans l'équation différentielle
conduisent à l'expression
X ′′(x ) 1 T&&(t )
= 2
= -σ 2
X ( x ) c T (t )
Les conditions aux limites se décrivent par :
en x = 0 , le déplacement est nul w(0, t ) = 0
⇒ X (0) = 0
en x = l ,
la contrainte est nulle
−m
∂ 2 w(l , t )
∂w(x, t )
= EA
2
∂x x =l
∂t
T&&
⇒ − mT&&X (l ) = EATX ′(l ) ⇒ − m X (l ) = EAX ′(l ) ⇒ mc 2σ 2 X (l ) = EAX ′(l )
T
2) en considérant l'équation du mouvement sous forme de deux équations séparées
 X ′′(x ) + σ 2 X (x ) = 0
 &&
2
 T (t ) + σ c T (t ) = 0
dont les solutions sont
X (x ) = α sin σ x + β cos σ x
T (t ) = a sin σ ct + b cos σ ct
il est possible d'écrire
CL en x = 0 : X (0) = β cos(σ 0) = 0
⇒ β =0
d'où l'équation du déplacement X (x ) = α sin σx et sa dérivée X ′(x ) = σα cos σx
CL en x = l : mc 2σ 2 sin (σ l ) = EAσ cos(σ l )
qui compte tenu que m = Aρl et c 2 = E ρ conduit à l'équation caractéristique :
tan (σ l ) =
1
(σ l )
3) Quand σ l est aux alentours de (n − 1)π , on peut écrire tan (σ n l ) ≈ σ n l − (n − 1)π et trouver
une solution de l'équation aux fréquences propres de la forme
(σ n l )2 − (n − 1)π (σ n l ) − 1 = 0
et en ne considérant que les solutions positives
(n − 1)π + (n − 1) 2 π 2 + 4
σ nl =
2
soient les valeurs approchées des pulsations naturelles
ωn = σ n c ≈
(n − 1)π + (n − 1) 2 π 2 + 4
2l
E
ρ
4) avec l'approximation précédente la première fréquence naturelle vaut ω1 ≈
1 E
l ρ
En considérant une approximation exacte au second ordre telle que tan (σ 1l ) ≈ (σ 1l ) +
on obtient (σ 1l ) +
(σ 1l )3
3
=
1
(σ 1l )3
3
,
soit χ 2 + 3χ − 3 = 0 où χ = (σ 1l ) . La solution positive de
2
(σ 1l )
cette équation est
21 − 3
= 0.7913 d'où σ 1l ≈ χ = 0.8895
2
0.8895 E
0.8603 E
donc ω1 ≈
alors que la valeur exacte est ω1 =
.
ρ
ρ
l
l
χ=
Exercice 2
1) Fréquences propres de la plaque (voir cours p. 40)
f mn =
π m2

2  a2
+
n2  D

b 2  ρh
2) Réponse forcée de la plaque dans le cas général (voir cours p.50) avec le taux
d'amortissement ζ identique pour chaque mode
a b
∫ ∫ f (u, v) sin
w( x, y, ω ) =
4e j ω t
∑∑ 0 0
ρhab m n
ω
2
mn
mπ u
nπ v
sin
dudv
a
b
2
− ω + j 2ωω mnζ
sin
mπ x
nπ y
sin
a
b
Pour les forces d'excitation F1 (t ) = F1 e jωt et F2 (t ) = F2 e jωt
f ( x, y ) = F1δ ( x − x1 )δ ( y − y1 ) + F2δ ( x − x 2 )δ ( y − y 2 )
l'équation du déplacement devient
mπ x1
nπ y1
mπ x 2
nπ y 2
sin
+ F2 sin
sin
F1 sin
jω t
4e
a
b sin mπ x sin nπ y
a
b
w( x, y, ω ) =
∑∑
2
2
ρhab m n
a
b
ω mn − ω + j 2ωω mnζ
3) Conditions pour que la force modale généralisée correspondant à ces deux forces soit nulle:
elle ne peut se définir que pour un mode (m, n) donné. On peut trouver deux cas:
- les contribution à la force modale généralisée de chacune des deux forces est nulle :
les points d'application se trouvent tous les deux sur une ligne nodale
mπ x1
nπ y1
mπ x 2
nπ y 2




= 0 OU sin
= 0  ET  sin
= 0 OU sin
= 0 ,
 sin
a
b
a
b




- les contributions de chaque force et de même sont identique et de signe contraire
mπ x1
nπ y1
mπ x 2
nπ y 2
F1 sin
sin
sin
= − F2 sin
a
b
a
b
(par exemple les forces sont d'amplitudes égales et situées symétriquement par rapport
à une ligne nodale)
4) La plaque est excitée par des forces correspondant chacune à un signal de période T et
telles que F2 = − F1 .
(−1) k
cos((2k + 1)ωT t )
k =0 2k + 1
Les points d'application sont ( x1 = c, y1 = b 2 ) et ( x 2 = a − c, y 2 = b 2 )
∞
F1 (t ) = A∑
y
c
c
b
b2
0
0
a
x
a) Tous les modes dont l'indice n est impair sont excités.
b) Exprimer le signal capté par un accéléromètre placé au point ( x3 = a 2 , y3 = b 4 )
nπ 
mπ c
mπ (a − c) 
− sin
 sin

4A
(−1)
2 
a
a
 sin mπ sin nπ
w( x3 , y 3 , t ) =
cos((2k + 1)ωT t )∑∑ 2
∑
2
2
2
4
ρhab k =0 2k + 1
m n ω mn − ( 2k + 1) ω T + j 2( 2 k + 1)ω T ζ
mπ c
mπ (a − c) 
mπ

quand m sera impair, donc
− sin
 sin
 sera nul quand m sera pair et sin
2
a
a


l'accéléromètre au pont 3 ne verra aucun signal.
∞
k
sin
c) Exprimer le signal capté par un accéléromètre placé au point ( x 4 = a 4 , y 4 = b 4 )
nπ 
mπ c
mπ ( a − c ) 
− sin
sin
 sin

4 A ∞ (−1) k
2 
a
a
 sin mπ sin nπ
w( x 4 , y 4 , t ) =
cos((2k + 1)ωT t )∑∑ 2
∑
2
2
ρhab k =0 2k + 1
4
4
m n ω mn − ( 2 k + 1) ω T + j 2( 2 k + 1)ω T ζ
Les modes pour lesquels m est pair et n est impair ne sont pas visibles au point 4.
ENSIM
2eme Année
Mai 2007
EXAMEN VIBRATIONS & ACOUSTIQUE 2
Tous documents autorisés
Barème : QCM (8) - Pb1 : (8) - Pb2 : (6)
Problème 1 : Rayonnement d'une plaque infinie
θ
y
x
Une onde de flexion de nombre d'onde k f se propage sur une plaque infinie en produisant une
vitesse vibratoire normale v( x) = v0 e
(x,y) dont la forme est p ( x, y ) = A e
− jk f x
. Une onde est rayonnée dans l'espace à deux dimensions
− j (kx x+k y y )
.
1) Utiliser cette équation de la pression dans l'équation d'onde ∇ 2 p( x, y ) + k 2 p( x, y ) = 0 pour
obtenir une relation entre les deux composantes du nombre d'onde k x et k y . Comment s'appelle
cette relation ?
2) Quelles relations existe-t-il entre le nombre d'onde de flexion k f et les composantes du nombre
d'onde acoustique k x et k y ? Expliquer pourquoi.
3) Expliquer votre démarche pour obtenir l'amplitude A de l'onde acoustique rayonnée. Donner
l'expression complète de la pression rayonnée en fonction de v0 , de k et de k f .
4) Quelle est la formule qui vous permet de calculer les vitesses particulaires acoustiques en
fonction de la pression p ( x, y ) ? Ecrire cette formule (sans faire les calculs : voir 5) pour u x ( x, y )
et u y ( x, y ) .
5) En fonction du résultat de la question 3), exprimer u x ( x, y ) et u y ( x, y ) .
6) Calculer les deux composantes I x ( x, y ) et I y ( x, y ) de l'intensité acoustique quand k > k f . Quel
commentaire pouvez-vous faire ?
7) Calculer les deux composantes I x ( x, y ) et I y ( x, y ) de l'intensité acoustique quand k < k f .
Quel commentaire pouvez-vous faire ?
Problème 2 au verso … / …
1
Problème 2 : Influence d'une cavité en fond de tube
Soit un tube de longueur L2 et de section S 2 monté au fond d'un tube de Kundt de section S1 . Ce
tube débouche dans une cavité cylindrique de section S1 et de profondeur L1 .
L2
L1
S1
AI
S1
S2
AR
x
0
La longueur d'onde acoustique est bien supérieure aux dimensions du système. En x = 0 , on
nomme Z l'impédance définie par le rapport p1 (u1 S1 ) ( p1 est la pression dans le tube en x = 0 et
u1 la vitesse particulaire correspondante).
1) Exprimer le coefficient de réflexion de l'onde incidente AI en fonction de l'impédance Z .
2) Exprimer Z en fonction des dimensions du petit tube et de la cavité en utilisant deux approches
différentes
a) en utilisant le modèle du résonateur de Helmholtz (masse dans le col, raideur du à la
pression dans le cavité),
b) en utilisant l'expression des ondes quasi-stationnaires dans le tronçon de section S 2 et
dans la cavité cylindrique (continuité des pression et conservation des débits).
Corrigé du problème 1 : Rayonnement d'une plaque infinie
1) En introduisant la solution
∇ 2 p( x, y ) + k 2 p( x, y ) = 0 , on obtient
− j ( kx x+k y y )
− (k x2 + k y2 ) A e
C'est la relation de dispersion.
p ( x, y ) = A e
+ k2A e
− j ( kx x+k y y )
− j (kx x+k y y )
=0
dans
l'équation
des
ondes
⇒ k 2 = k x2 + k y2
2) Pour que la composante normale (direction y) de la vitesse particulaire acoustique
k y A − j ( kx x+k y y )
u y ( x, y ) =
e
corresponde en tout point à la vitesse vibratoire normale de la plaque,
k ρ0c
il faut que la fonction qui décrit l'évolution des grandeurs acoustiques selon x soit identique à celle
− jk x
de la vitesse vibratoire e f , donc que
k x = k f , d'où d'après la relation de dispersion k y = k 2 − k x2 = k 2 − k 2f .
2
3) Il suffit d'écrire la relation fondamentale du rayonnement acoustique u y ( x,0) = v( x) pour tout x,
k y A − jk x x
k
− jk x
e
= v0 e f . k x = k f permet d'obtenir A =
ρ 0 cv0 et finalement l'expression de la
k ρ0c
ky
pression rayonnée
k
k
p ( x, y ) = ρ 0 cv0
exp(− jk f x) exp − jk y y = ρ 0 cv0
exp(− jk f x) exp − jy k 2 − k 2f .
2
2
ky
k −k
(
(
)
)
f
− 1 ∂p ( x, y )
− 1 ∂p ( x, y )
et u y ( x, y ) =
.
jρ 0 ck ∂x
jρ 0 ck ∂y
5) Composante x et y de la vitesse particulaire acoustique
kf
− 1 ∂p( x, y )
u x ( x, y ) =
= v0
exp(− jk f x) exp − jk y y
jρ 0 ck ∂x
ky
4) C'est la relation d'Euler :
u x ( x, y ) =
(
u y ( x, y ) =
)
− 1 ∂p ( x, y )
= v0 exp(− jk f x) exp − jk y y .
jρ 0 ck ∂y
(
)
6) Intensité acoustique quand k > k f . k y = k 2 − k 2f est réel et peut s'écrire aussi k y = k cos θ , de
même que k f = k x = k sin θ . L'intensité s'exprime par
ρ 0 c v0
1
I x ( x, y ) = Re p ( x, y ) u ∗x ( x, y ) =
2
2
{
}
ρ cv
1
I y ( x, y ) = Re p( x, y ) u ∗y ( x, y ) = 0 0
2
2
2
kk f
k y2
=
ρ 0 c v0
2
2 cos 2 θ
2
sin θ
2
ρ cv
k
= 0 20 cos θ
k y 2 cos θ
C'est une onde plane dont le vecteur intensité est orienté dans la direction θ par rapport à la
normale.
{
}
7) Intensité acoustique quand k < k f . Dans ce cas, k y = k 2 − k 2f = − j k 2f − k 2 = − j k y : le
nombre d'onde est purement complexe et exp(− jk y y ) = exp(− k y y ) . Il s'agit d'une onde
évanescente rayonnée dans la direction y. Son intensité I y ( x, y ) est nulle.
Corrigé du problème 2 : Influence d'une cavité en fond de tube
1) Dans la partie du tube où x < 0 , pression et vitesse particulaire s'écrivent
A
A
p( x) = AI exp(− jkx) + AR exp( jkx) et u ( x) = I exp(− jkx) − R exp( jkx)
ρ0c
ρ0c
Z = p1 (u1 S1 )
avec
p1 = p ( x) = AI + AR
En définissant l'impédance par
A
A
ZS
u1 = u (0) = I − R , on obtient la relation
AI + AR = 1 ( AI − AR ) où
ρ0c ρ0c
ρ0c
1+
et
encore
AR ZS1 
A 
1 − R  , d'où on peut extraire le coefficient de réflexion
=
AI
ρ 0 c  AI 
ZS − ρ 0 c
A
R= R = 1
.
AI
ZS1 + ρ 0 c
2) Calcul de l'impédance Z : dans tous les cas on utilise les relations de conservation des pressions
et de continuité des débits :
p1 = p 2 et Q = ρ 0 u1 S1 = ρ 0 u 2 S 2 ,
3
avec p 2 et u 2 la pression et la vitesse dans le tube de section S 2 en x = 0 .
a) la première méthode utilise la relation du résonateur de Helmholtz qui lie la pression en sortie du
col avec son débit
− jωp2
Q=
.
 L2 2 c 2 
 ω − 
V
 S2
En reportant cette expression dans celle de l'impédance
ρ p
− ρ 0  L2 2 c 2 
p
Z= 1 = 0 2 =
 ω − 
u1 S1
Q
jω  S 2
V 
p
p
b) la deuxième méthode considère Z = 1 = 2 et exprime la pression p 2 et la vitesse u 2 en
u1 S1 u 2 S 2
fonction des ondes dans le tronçon x > 0 . Pour 0 ≤ x ≤ L2
A′
A′
p( x) = AI′ exp(− jkx) + AR′ exp( jkx) et u ( x) = I exp(− jkx) − R exp( jkx) .
ρ0c
ρ0c
Ces deux équations permettent de calculer p 2 et u 2 en posant x = 0 et d'exprimer l'impédance sous
la forme
ρ c AI′ + AR′
p
Z= 2 = 0
.
u2 S2
S 2 AI′ − AR′
Il reste à calculer AI′ et AR′ en utilisant les relations pour le tronçon L2 ≤ x ≤ L1 + L2 . L'onde est
une onde stationnaire (fond rigide) et A′′ = AI′′ = AR′′
j 2 A′′
p( x) = 2 A′′ cos k ( x − L1 − L2 ) et u ( x) = −
sin k ( x − L1 − L2 ) .
ρ 0c
On applique en x = L2 la conservation des pressions et la continuité des débits, on obtient deux
équations
S
AI′ exp(− jkL2 ) + AR′ exp( jkL2 ) = 2 A′′ cos kL1 AI′ exp(− jkL2 ) − AR′ exp( jkL2 ) = j 2 1 A′′ cos kL1
S2
que l'on résout par rapport à AI′ et AR′




S
S
AI′ = A′′ cos kL1 + j 1 sin kL1  exp( jkL2 ) et AR′ = A′′ cos kL1 − j 1 sin kL1  exp(− jkL2 ) .
S2
S2




∗
On voit que AR′ = AI′ , donc que
Z=
ρ 0 c AI′ + AR′
S 2 AI′ − AR′
=−j
ρ 0 c Re{AI′ }
S 2 Im{AI′ }
=−j
ρ 0 c cos kL1 cos kL2 − (S1 S 2 )sin kL1 sin kL2
S 2 cos kL1 sin kL2 + (S1 S 2 ) sin kL1 cos kL2
.
Pour comparer cette relation à la précédente, il faut se rappeler que le résonateur de Helmholtz est
basé sur l'hypothèse que la longueur d'onde acoustique est bien plus grande que ses dimensions.
Elle conduirait donc à écrire cos kL1 ≈ cos kL2 ≈ 1 , sin kL1 ≈ kL1 et sin kL2 ≈ kL2 . L'impédance
devient alors
ρ c AI′ + AR′
ρ c Re{AI′ }
1 − (S1 S 2 )k 2 L1 L2
Z= 0
=−j 0
= − jρ 0 c
.
S 2 AI′ − AR′
S 2 Im{AI′ }
kL2 S 2 + kL1 S1
On obtient bien le même résultat qu'en a) en posant L1 S1 = V et en considérant que le volume du
col L2 S 2 est négligeable devant celui de la cavité pour que V ≈ L1 S1 + L2 S 2 .
4
ENSIM
2eme Année
Avril 2008
EXAMEN VIBRATIONS & ACOUSTIQUE 2
Documents autorisés
Exercice 1
L’équation des ondes dans une structure unidimensionnelle s’écrit, pour des déplacements s’exprimant
en variables complexes, sous la forme
d 2 w( x)
+ ω 2 m w( x) = − F ( x) avec w( x) = ∑ an φn ( x) ,
α
2
dx
n
2
d φ n ( x)
dont la déformée modale φn (x) vérifie l’équation homogène α
+ ω n2 m φ n ( x) = 0 , où ω n est la
dx 2
pulsation propre.
1) Montrer que ces relations peuvent conduire à l’équation modale
(ω
2
n
)
− ω 2 a n M n = Fn .
2) Exprimer les paramètres M n et Fn .
3) Interpréter ces paramètres en donnant des justifications, ainsi que pour la quantité ω n2 M n .
4) Qu’adviendrait-il si m = m(x) ?
Exercice 2
Il a été vu en cours que dans le cas du changement de section d’un conduit de S1 vers S 2 , l’amplitude
de l’onde plane transmise pouvait s’écrire en fonction de l’amplitude de l’onde incidente
2 S1
AT =
AI .
S1 + S 2
1) Définissez les pertes de transmission et calculez les dans le cas de ce changement de section.
T12 
T
2) Si T =  11
 est une matrice représentant un système silencieux dont l’entrée est un tube de
T21 T22 
section S1 et la sortie un tube de section S 2 , donnez l’expression des pertes de transmission en
fonction des sections et des éléments de la matrice.
3) En considérant les pressions et les débits de part et d’autre de l’abscisse x = 0 dans la situation
représentée par le schéma ci-dessous, donner la matrice T du changement de section telle que
p1 p 2
Q1 Q2
x
 p1 
 p2 
Q  = T Q 
 1
 2
0
4) Utilisez cette matrice dans l’expression des pertes de transmission obtenues en 2) et vérifier que
vous obtenez le résultat trouvé en 1).
Exercice 3
M
F
x
0
x0
L
Le schéma ci-dessus représente une barre excitée en traction-compression par une force harmonique
F à son extrémité libre. L’autre extrémité est encastrée. Elle comporte en x0 une masse M fixée
ponctuellement.
1) Quelle méthode allez vous utiliser pour obtenir le déplacement forcé de cette barre sans avoir
recours à une description modale ?
2) Exprimer les conditions aux limites et de continuité en x = 0 , x = x0 , et x = L .
3) Exprimer le déplacement w( x)
Corrigé de l’exercice 1
1) On remplace dans un premier temps la solution w( x) = ∑ an φn ( x) dans l’équation des ondes
n
2
d φ n ( x)
+ ω 2 m∑ a n φ n ( x ) = − F ( x )
2
dx
n
n
2
d φ n ( x)
L’équation homogène permet de remplacer α
par − ω n2 m φ n ( x) , d’où
2
dx
α ∑ an
− m∑ a nω n2 φ n ( x) + ω 2 m∑ a n φ n ( x) = − F ( x) .
n
n
Dans l’équation précédente chaque terme est multiplié par φ m ( x) , puis intégré sur le domaine D (la
structure)
m∑ a nω n2 ∫ φ m ( x) φ n ( x) dx − ω 2 m∑ a n ∫ φ m ( x) φ n ( x) dx = ∫ F ( x) φ m ( x) dx .
n
n
D
D
D
 N pour m = n
( x) φ n ( x) dx =  n
, il apparaît qu’il ne
autrement
0
D
reste dans la somme que le terme pour lequel n = m . Ainsi l’équation s’écrit
En utilisant la relation d’orthogonalité
(ω
2
n
∫φ
m
− ω 2 )a m m N m = ∫ F ( x) φ m ( x) dx
D
et peut se mettre sous la forme
(ω
2
n
)
− ω 2 a n M n = Fn .
2) Les paramètres s’expriment donc par
M n = m N n = m ∫ φ n2 ( x) dx et Fn = ∫ F ( x) φ n ( x) dx
D
D
3) Le terme − ω 2 a n M n a la dimension d’une force et − ω 2 a n représente une accélération : M n est la
masse modale. Fn est la force modale généralisée.
4) Si la distribution de masse n’est pas homogène sur la structure, la relation d’orthogonalité des
modes devient
M n pour m = n
m
(
x
)
φ
(
x
)
φ
(
x
)
dx
=
.

m
n
∫
autrement
 0
D
Corrigé de l’exercice 2
1) Les pertes de transmission se définissent par D = 10 log
AT
2
=
4S
2
1
(S 1 + S 2 )
2
2
AI , obtient D = 10 log
(S 1 + S 2 )
4 S1 S 2
WI
WT
= 10 log
S 1 AI
S 2 AT
2
2
. En considérant que
2
.
2) Les pertes de transmission pour un système silencieux représenté par une matrice T s’écrit en
fonction de ses éléments par (cours)
D = 10 log
S
S
c
S1 T11 + 2 T12 + T21 + 2 T22
c
S1
S1
4 S2
2
.
3) Puisque les continuités des pressions et des débits s’appliquent, quelque soit la section des tronçons
de tube, on a p1 = p 2 et Q1 = Q2 , donc la matrice du changement de section est une matrice diagonale
1 0 
unitaire T = I = 
.
0 1
 S
S1 1 + 2
S1
4) Les pertes de transmission s’écrivent alors D = 10 log 
4 S2
2


2
 = 10 log (S1 + S 2 ) .
4 S1 S 2
Corrigé de l’exercice 3
1) On va utiliser la méthode de décomposition en ondes forcées décrite au pages 64 à 71, en
considérant deux tronçons :
- le tronçon 1 entre x = 0 et x = x0 ,
- le tronçon 2 entre x = x0 et x = L ,
et en écrivant à chacune de leurs extrémités les conditions aux limite ou de continuité. Les
déplacements longitudinaux dans chaque tronçons s'écrivent
w1 (x ) = a1 sin kx + b1 cos kx
w2 (x ) = a 2 sin kx + b2 cos kx
avec le nombre d'onde longitudinal k = ω c L = ω ρ E . Dans les calculs suivants on considère des
variables complexes en omettant e jω t .
2) Condition de continuité en x = 0 (voir p. 61)
∂w (x )
EA 1
= − F0 ,
∂x x =0
Continuité des déplacements et discontinuité de la force en x = x0
w1 ( x0 ) = w2 ( x0 )
∂w1 (x )
∂w ( x )
− EA 2
= ω 2 M w1 ( x0 )
∂x x =0
∂x x =0
Condition aux limite en x = L (barre encastrée)
w2 ( L) = 0
EA
&&( x) = −ω 2 w( x)
en considérant w
3) Calculer le déplacement dans les deux tronçons, c'est exprimer les coefficients a1 , a 2 , b1 et b2 à
l'aide des 4 équations définissant les conditions aux limites et de continuité. On a
dw1 ( x) dx = k (a1 cos kx − b1 sin kx ) et dw2 ( x) dx = k (a 2 cos kx − b2 sin kx )
F0
b
et 2 = − tan kL . Les deux relations en
EAk
a2
x = x0 permettent de construire un système permettant d'obtenir b1 et a 2 .
Les relation en x = 0 et x = L conduisent à a1 = −
Avril 2008
N° de table :
Test VIBRATIONS & ACOUSTIQUE 2
1) Une corde tendue entre deux points fixes x = 0 et x = l est déplacée de sa position d'équilibre en
deux points x1 et x 2 ( 0 < x1 < x 2 < l ) puis lâchée à l'instant t = 0 . Comment représentez vous les
conditions initiales w0 ( x ) et w& 0 ( x ) utilisées pour le déplacement de la corde à t > 0 ?
w& 0 ( x)
w0 ( x)
par exemple
x2
0
x1
x1
x
x2
x
0
l
l
2) Une corde de piano de longueur l = 0.8 m et d'une masse totale de 4 g est tendue avec une tension
de 800 N. La prise en compte des conditions aux limites a permis de calculer pour le fondamental
(σ 1l ) = 0.8π :
a) exprimer la relation entre la fréquence du fondamental et (σ 1l )
f =
(σ 1l ) c
2π l
b) avez-vous tous les éléments pour calculer cette fréquence ? Sinon lesquels manquent ?
Puisque c = τ m , on connaît donc toutes les quantités
τ = 800 N, (σ 1l ) = 0.8 π , l = 0.8 m, m = 0.004 0.8
3) Une barre en traction compression a une extrémité libre en x = l . Sachant que la résultante des
forces à une extrémité doit vérifier la relation
∂w( x, t )
+ forces extérieures = 0
∑ F = EA ∂x
x =l
donner une équation en x = l pour exprimer cette condition aux limites :
w=
∂w
=
∂x
0
Contraintes nulles à
l'extrémité x = l
4) Dans une poutre d'Euler-Bernouilli, associez à ces grandeurs à une dérivée spatiale du déplacement
en les reliant par des traits
moment de flexion
déplacement angulaire
effort tranchant
∂w
∂x
∂2w
∂x 2
∂3w
∂x 3
5) La fonction radiale d'une membrane circulaire solution de l'équation de Bessel est
R(r ) = a J m (σ r ) + b Ym (σ r )
Peut-on donner une précision sur la valeur des coefficients a et b qui soient indépendants des
conditions aux limites ?
La fonction de Bessel de seconde espèce ne peut être un solution du problème car elle est
infinie au centre de la membrane ( r = 0 ), donc b = 0 . Le coefficient a est déterminé avec
les conditions initiales.
6) Mettez une croix devant les configurations de plaque pour lesquelles une solution analytique est
possible. On utilise le codage suivant : A-B-C-D, où A, B, C et D peuvent prendre les valeurs L :
libre, S : simplement supportée, E : encastrée
C
D
B
A
L-L-L-L (entièrement libre)
X
S-S-E-E
X
X
L-S-E-S
S-S-S-S
X E-S-E-S
E-L-E-L
S-L-E-L
S-E-S-E
X circulaire Encastrée
7) Une plaque est excitée ponctuellement en x = x0 et y = y 0 par une force sinusoïdale d'amplitude
F0 et de pulsation ω . Comment pouvez-vous exprimer l'amplitude du seul mode (m, n ) connaissant
sa déformé modale φ mn ( x, y ) sa pulsation naturelle ω mn et le facteur de perte η ?
wmn ( x, y , ω ) =
F0 φ mn ( x0 , y 0 ) φ mn ( x, y )
[
2
2
− ω 2 + jηω mn
M mn ω mn
]
avec M mn =
ρhL x L y
4
voir pp. 53 et 58.
8) Dans une poutre d'Euler-Bernouilli, préciser les paramètres qui sont nuls (en mettant une croix dans
la case) pour les conditions aux limites suivantes
simplement supportée
déplacement transversal
X
moment de flexion
X
libre
guidée
X
X
déplacement angulaire
effort tranchant
encastrée
X
X
X
X
ENSIM
2eme Année
Avril 2009
EXAMEN VIBRATIONS & ACOUSTIQUE 2
Documents autorisés
Exercice 1
Flûte de Pan : utilisation des conditions aux limites pour calculer les fréquences propres d’un tube de
bambou bouché à une extrémité et ouvert à l’autre
2a
0
l
x
1) Question de cours simple : qu’elle est la relation qui relie pression acoustique et vitesse
particulaire ? Ecrivez-la.
2) Ecrire l’équation d’onde en variables séparées p( x, t ) = X ( x ) T (t ) .
3) Ecrire l’équation de T (t ) et donner sa solution en identifiant la pulsation ω .
4) Exprimer les conditions aux limites à l’aide de la solution générale de X (x) .
a) pour l’extrémité rigide
b) pour l’extrémité ouverte en prenant pour impédance de rayonnement Z r = 0.
5) Ecrire la déformée modale de la pression X (x) en utilisant la solution particulière dépendante des
conditions aux limites.
6) Exprimer les pulsations propres du tube.
7) Déterminer la longueur du tube de bambou pour la première pulsation propre ω1 , en introduisant
une correction de longueur ∆l dépendant du rayon a . Exprimer cette condition en fonction de la
configuration.
8) Comment pouvez-vous écrire la condition à la limite x = l pour une impédance de rayonnement
Z r = j ρ 0 c k∆l ? (on remarque que k = ω c = σ , la constante utilisée avec la méthode de séparation
des variables)
9) Exprimer l’équation aux fréquences (équation caractéristique). Expliquer comment vous feriez pour
trouver les solutions.
Exercice 2 au verso…
1
Exercice 2
Plaque carrée en flexion : fréquences propres et déformées modales
1) Ecrire les fréquences propres d’une plaque rectangulaire simplement supportée en fonction de ses
dimensions (largeur, longueur, épaisseur) et des caractéristiques du matériau (masse volumique,
module de Young et coefficient de poisson).
2) Ecrire les déformées modales de cette même plaque rectangulaire.
3) Considérer maintenant la plaque carrée. Exprimer les fréquences propres et les déformées modales.
Quels commentaires pouvez-vous faire ?
Les figures suivantes représentent 3 déformées (avec une ligne nodale en trait interrompu)
φ A = sin
πx
L
sin
2π y
L
φ B = sin
2π x
πy
sin
L
L
φC = sin
πx
L
sin
2π y
2π x
πy
+ sin
sin
L
L
L
4) Expliquer comment vous faites pour déterminer s’il s’agit de mode. Tester votre méthode sur les
trois déformées A, B et C. Conclure.
5) Exprimer la force modale généralisée des modes identifiés pour une force ponctuelle située en
(a, a ) (l’origine est le coin inférieur gauche).
2
Corrigé
Exercice 1
1) La relation d’Euler entre la pression acoustique et la vitesse particulaire (ici dans la direction x)
s’écrit
− 1 ∂p ( x, t )
u ( x, t ) =
.
jρ 0 c k ∂x
∂ 2 p( x, t ) 1 ∂ 2 p ( x, t )
1
− 2
= 0 s’écrit alors X ′′( x)T (t ) − 2 X ( x)T&&(t ) = 0 .
2) L’équation d’onde
2
2
∂x
∂t
c
c
3) En mettant la relation précédente sous la forme
X ′′( x ) 1 T&&(t )
=
= -σ 2
X ( x ) c 2 T (t )
l’équation de associée à la variable T (t ) est T&&(t ) + σ 2 c 2T (t ) = 0 et sa solution
T (t ) = α sin σ ct + β cos σ ct = α sin ω t + β cos ω t .
Il est évident d’après la solution harmonique de l’équation différentielle que ω = σ c correspond à une
pulsation.
4) Conditions aux limites en fonction de X ( x) = A sin σx + B cos σx .
− 1 ∂p ( x, t )
= 0 ⇒ X ′(0) = 0
jρ 0 ck ∂x x =l
X ′( x ) = σ A cos σ x − σ B sin σ x
X ′(0) = σ A cos σ 0 = 0 ⇒ A = 0 .
a) extrémité rigide : vitesse nulle u (0, t ) =
b) extrémité avec Z r = 0 , c’est à dire que p(l , t ) = 0 ou X (l ) = 0
X (l ) = B cos σ l = 0 .
Les solutions de cette équation caractéristique cos σ l = 0 sont σ n =
2n − 1
π
2l
5) D’après les résultats précédents, la déformée modale est X ( x) = B cos σ n x = B cos
6) Les pulsations propres du tube sont ω n = σ n c =
2n − 1 πx
2 l
2n − 1 π c
.
2
l
7) La longueur du tube de bambou en fonction de la première pulsation propre et avec une correction
∆l est
πc
L = l + ∆l =
+ 0.61 a
2ω1
La correction ∆l = 0.61 a correspond à une terminaison non-bafflée (cours).
7) Condition aux limites en terme d’impédance de rayonnement Z r = j ρ 0 c k∆l
3
p(l , t ) = Z r u (l , t ) = jρ 0 c k∆l u (l , t ) . On peut écrire
La relation entre pression et vitesse est donc
également u (l , t ) =
 jρ c ∆ l k
−1
X ′(l )T (t ) , donc X (l ) =  − 0
jρ 0 ck
jρ 0 ck

X (l ) = − ∆l X ′(l )

 X ′(l ) , soit finalement

9) L’équation aux fréquences ou équation caractéristique s’obtient en remplaçant dans la relation
précédente les expressions de X (l ) et X ′(l ) , ce qui conduit à
∆l
cos σ l = − ∆l σ sin σ l ou encore cot σ l = − σ l .
l
Les solutions (σ n l ) correspondent aux intersections entre deux réseaux de courbes : les courbes
représentants les cot σ l et une droite de pente − ∆l l . Les solutions (σ n l ) pourront être calculées
numériquement. Ainsi les pulsations propres s’obtiennent par
c
ω n = σ n c = (σ n l ) .
l
Exercice 2
1) Les fréquences propres d’une plaque rectangulaire simplement supportée (cours) de dimensions
L x × L y sont
f mn

ω
π m
= mn = 
2π
2  L x

2
  n
 + 

  Ly




2
Eh 2

 12 ρ 1 − υ 2

(
)
2) Les déformées modales correspondantes (cours)
φ mn ( x, y ) = sin
mπ x
nπ y
sin
Lx
Ly
3) Fréquences propres et déformées modales de la plaque carrée ( L = Lx = L y )
f mn =
ω mn
Eh 2
π
= 2 m2 + n2
2π
2L
12 ρ 1 − υ 2
mπ x
nπ y
φ mn ( x, y ) = sin
sin
[
]
(
)
L
L
Un mode (m, n) et un mode (n, m) auront une même valeur de fréquence propre car f mn = f nm . Par
contre, les déformées modales restent différentes : la permutation de m et de n ne conduit pas à la
même fonction de x et de y .
4) Deux modes d’indices i et j (orthogonaux par définition) doivent vérifier la relation
d’orthogonalité sur le domaine D (surface de la plaque carrée)
∫∫ φi ( x, y) φ j ( x, y) dxdy = 0 .
D
Pour vérifier que les déformées A , B et C correspondent à des modes, il suffit de tester les couples
(i, j ) suivants : ( A, B) , ( A, C ) et ( B, C ) , sachant que ∫ sin mαx sin nαx dx = 0 pour n ≠ m et
∫ sin
2
mαx dx ≠ 0 quand n = m .
4
L
∫∫ φ A ( x, y) φ B ( x, y ) dxdy = ∫ sin
0
D
L
πx
2π x
2π y
πy
sin
dx ∫ sin
sin
dy = 0
L
L
L
L
0
les déformées ( A, B) vérifient la relation d’orthogonalité

∫∫ φ A ( x, y) φC ( x, y) dxdy = ∫∫ sin
D
2
πx
L
D
L
= ∫ sin
πx
L
2
πx
L
2
0
L
= ∫ sin
sin 2
0
2πy
2π x
2π y
πx
π y
+ sin
sin
sin
sin
dxdy
L
L
L
L
L 
L
L
πx
πy
2π y
2π x
2π y
dx ∫ sin
dy + ∫ sin
sin
dx ∫ sin
sin
dy
L
L
L
L
L
L
0
0
0
L
2
dx ∫ sin 2
0
2π y
dy ≠ 0
L
les déformées ( A, C ) ne vérifient pas la relation d’orthogonalité. On a aussi une relation similaire
pour les déformées ( B, C )
L
2
∫∫ φ B ( x, y ) φC ( x, y ) dxdy = ∫ sin
0
D
L
πy
2π x
dx ∫ sin 2
dy ≠ 0
L
L
0
qui montre qu’elles ne vérifient pas la relation d’orthogonalité.
Les déformées A et B correspondent à des modes. La déformée C qui est une combinaison linéaire des
modes A et B n’en est pas un.
5) Une force ponctuelle située en (a, a ) s’écrit F ( x, y ) = F0δ ( x − a)δ ( y − a) . La force modale
généralisée est
Fmn = ∫∫ F ( x, y )φ mn ( x, y ) dxdy = F0 ∫∫ φ mn ( x, y )δ ( x − a )δ ( y − a ) dxdy = F0 φ mn (a, a )
D
D
soit pour les modes A et B
2π a
2π a
πa
et FB = F0 sin
sin
L
L
L
L
(mais FA = FB seulement pour la position de l )
F A = F0 sin
πa
sin
5
ENSIM
2eme Année
Juin 2009
EXAMEN VIBRATIONS & ACOUSTIQUE 2
Exercice 1
Une enceinte acoustique utilise deux haut-parleurs "tweeter" pour la reproduction des aigus.
Ils sont disposés de la façon suivante (vue de dessus) :
α
tweeter
Les haut-parleurs sont supposés se comporter comme des pistons circulaires de rayon a
montés dans des baffles infinis inclinés chacun d'un angle θ . On considère la courbe de
directivité en de l'intensité en champ lointain
I (r ,θ )
LI (r ,θ ) = 10 log r −12
10
1) On définit la limite haute fréquence f 2 quand l'intensité de chaque tweeter présente une
atténuation de 3dB dans l'axe de l'enceinte par rapport l'intensité sur l'axe du piston (c'est à
dire quand θ = α ). Exprimer cette fréquence en fonction de a et α .
2J ( x)
x2
On utilisera l'approximation 1
≈1−
x
8
2) La fréquence limite basse f1 correspond à la valeur ka = 1 . Sachant que l'on veut que f 2
soit deux octaves au dessus de f1 , déterminer l'angle α que satisfait les conditions de la
question précédente.
3) Est-ce que l'hypothèse d'un comportement assimilable à celui de pistons bafflés vous
semble raisonnable ?
Exercice 2
Un piston est monté dans un tube cylindrique dont l'aire de la section est S
a) déterminer la fréquence limite pour que seul le mode plan (0,1) puisse se propager
dans le tube,
b) donner la fonction dont le premier passage à zéro correspond à cette fréquence limite
c) donner les indices du premier mode propagatif qui apparaît après le mode plan
1
Exercice 3
1) Donner la définition des pertes de transmission d'un silencieux.
2) Un tube de longueur L et de section S fermé par une extrémité rigide est monté en
dérivation sur un autre tube de même section (voir schéma).
Exprimer ses pertes de transmission en utilisant la même démarche que celle employée dans
le cas du silencieux à résonateur.
3) Pourquoi appelle t-on ce système "résonateur quart d'onde" ?
L
x
0
Exercice 4
Un tube circulaire est ouvert à une extrémité.
1) Expliquer la relation qui existe entre l'impédance de rayonnement de son extrémité et le
coefficient de réflexion des ondes planes à l'intérieur.
2) Exprimer ce coefficient de réflexion en onde plane de cette extrémité sachant que
l'impédance de rayonnement d'un tube circulaire non-bafflé dans la gamme de fréquence
considérée est
[
Z r = ρ 0 c (ka ) 4 + j 0.61ka
2
]
3) Est-ce que le coefficient de réflexion changerait si l'extrémité du tube se terminait par une
ouverture pratiquée dans un baffle ?
2
Corrigé
Exercice 1
2
 2J (ka sin θ ) 
1) L'intensité en champ lointain est (cours) I r (r , θ ) = A 1
 . Une atténuation de
 ka sin θ 
2
2
 x2 
1
 2J ( x ) 
3dB est constatée quand  1  ≈ 1 −  = , avec x = ka sin α , c'est à dire quand
8
2
 x 

x 2 = 8 1 − 1 2 , ce qui conduit à x = ka sin α = 1.53 (alors que la valeurs calculée sans
approximation est 1.618). Dans cette relation la valeur du nombre d'onde est k = 2π f 2 c ce
qui conduit à l'expression suivante
1.53 c
f2 =
.
2π a sin α
(
)
2) La fréquence limite f 2 = 4 f1 , ce qui correspond donc à ka = 4 . L'angle α doit vérifier la
relation 4 sin α = 1.53 , soit
1.53
= 0.39 rad, soit environ 22.5°.
α = arcsin
4
3) Le modèle de piston monté sur un baffle infini ne correspond pas à la configuration
expérimentale mais peut constituer une bonne approximation pour dimensionner l'enceinte
dans le cadre d'une approche industrielle.
Exercice 2
a) La fréquence limite pour que seul le mode plan (0,1) puisse se propager dans le tube
correspond à la fréquence de coupure du mode suivant qui sera un mode ( m ,1)
c χ m1
c χ m1
f c, m1 =
=
avec a le rayon du tube de section S
2π a 2π S π
χ m1 est le premier zéro de la dérivée de la fonction J m (c'est aussi le 1er maximum).
b) La fonction de Bessel de première espèce représente la distribution radiale de la pression.
La condition aux limites sur les parois rigides du tube font que la vitesse est nulle sur les
parois du tube. Par la relation d'Euler, c'est donc la dérivée de cette fonction de Bessel qui
correspond à cette fonction dont le premier passage à zéro donne la fréquence limite.
c) Les représentations des fonctions de Bessel sur le polycopié montre que celle qui présente
le premier maximum est la fonction de Bessel d'ordre m = 1 .
3
Exercice 3
1) Les pertes de transmission d'un silencieux se définissent comme la valeur en dB (10 fois le
log base 10) de la puissance incidente à l'entrée du silencieux sur la puissance transmise en
sortie, sur une terminaison correspondant à l'impédance caractéristique (tube infini).
2) Un tube de longueur L et de section S fermé par une extrémité rigide est monté en
dérivation sur un autre tube de même section (voir schéma). La pression et la vitesse
particulaire dans le tronçon d'entrée ( x < 0 ) du tube sont
A
A
p1 ( x) = AI exp( − jkx ) + AR exp( jkx ) et u1 ( x) = I exp( − jkx) − R exp( jkx )
ρ0c
ρ0c
La pression et la vitesse particulaire dans le tronçon en dérivation ( 0 < y ≤ L ) sont
A′
A′
p 2 ( y ) = AI′ exp( − jky ) + AR′ exp( jky ) et u 2 ( y ) = I exp( − jky ) − R exp( jky ) .
ρ 0c
ρ 0c
A l'extrémité rigide de ce tube ( y = L ) la vitesse particulaire est nulle ce qui conduit à la
relation AR′ = AI′ exp( − j 2kL) .
La pression et la vitesse particulaire dans le tronçon de sortie ( x > 0 ) du tube sont
A
p3 ( x) = AT exp(− jkx) et u 3 ( x) = T exp( − jkx )
ρ0c
car il n'y a pas de réflexion.
A l'origine ( x = 0 et y = 0 ), on vérifie la continuité des pression et la conservation des débits
p1 (0) = p 2 (0) = p3 (0) et Q1 = Q2 + Q3 = ρ 0 S u1 (0) = ρ 0 S u 2 (0) + ρ 0 S u 3 (0)
A l'entrée du tube en dérivation ( y = 0 ), la pression et la vitesse s'écrivent
A′
A′
A′
p 2 (0) = AI′ + A′R = AI′ [1 + exp( − j 2kL)] et u 2 (0) = I − R = I [1 − exp(− j 2kL)] .
ρ0c ρ0c ρ0c
L'équation de continuité des pression AI + AR = AT = A′I [1 + exp( − j 2kL)] permet d'écrire
AT
AR = AT − AI et AI′ =
1 + exp( − j 2kL)
En reportant ces relations dans l'équation de conservation des débits on obtient
1 − exp(− j 2kL) 
AI − AR = AT + AI′ [1 − exp( − j 2kL)] soit 2 AI − AT = AT + AT 

1 + exp( − j 2kL) 
qui permet d'exprimer l'amplitude AT en fonction de AI
2 AI
AT =
.
2 + j tan kL
Les pertes de transmission s'obtiennent alors facilement par
TL = 10 log
S AI
S AT
2
2
 1

= 10 log 1 + tan 2 kL  .
 4

3) Les pertes de transmission sont maximales (infinies, sans dissipation) quand kL =
π
2
+ nπ
avec n = 0,1,2,3,L . Le premier maximum apparaît pour kL = π 2 , c'est à dire quand
L = λ 4 , d'où sont nom de "résonateur quart d'onde".
4
Exercice 4
1) En fonction de l'impédance de rayonnement en sortie de tube, une quantité plus ou moins
importante d'énergie sera transmise à l'extérieur.
2) En considérant p( x) = A[exp( − jkx ) + R exp( jkx)] et u ( x) =
l'impédance s'exprime par Z =
A
[exp( − jkx) − R exp( jkx)]
ρ0c
1+ R
p(0)
= ρ0c
et le coefficient de réflexion par
u (0)
1− R
Z − ρ 0 c (ka ) 2 4 − 1 + j 0.61ka
.
=
Z + ρ 0 c (ka) 2 4 + 1 + j 0.61ka
Quand ka → 0 , R tend vers − 1 .
R=
3) Si l'extrémité du tube se termine par une ouverture pratiquée dans un baffle, l'impédance
est modifiée et en conséquence le coefficient de réflexion.
5