REPRESENTATION DE FRESNEL EN ELECTRICITE 1° Somme de

REPRESENTATION DE FRESNEL EN ELECTRICITE
1° Somme de deux complexes
Les complexes z1 , z2 , et z ont pour notation exponentielle : z1 = A1 eiϕ1 ; z2 = A2 eiϕ2 ; z = A eiϕ (ϕ ≠
π
+kπ)
2
On pose z = z1 + z2
a) Montrer que A cos ϕ = A1 cos ϕ1 + A2 cos ϕ2 et A sin ϕ = A1 sin ϕ1 + A2 sin ϕ2 .
A sin ϕ1 + A2 sin ϕ2
b) Montrer que A = A1 2 + A2 2 + 2 A1 A2 cos (ϕ2 – ϕ1 ) et tan ϕ = 1
A1 cos ϕ1 + A2 cos ϕ2
2° Représentation géométrique d'une somme
Dans cette question
π
π
A1 = 2 ; ϕ1 = ; A2 = 3 ; ϕ2 =
4
12
→ 
a) Placer M1 , M2 , M dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal (O ; u,
v→) (la construction de
π
sera
12
expliquée).
• Lire approximativement sur le dessin la longueur OM et une mesure, en degrés, de ϕ.
• En déduire, approximativement, la forme exponentielle de z .
π
π π
π
6 + 2
π
6– 2
b) En remarquant que
= – , prouver que cos =
et sin
=
.
12 4 6
12
4
12
4
• Calculer A et tan ϕ.
c) Vérifier la concordance entre les questions 2° a) et 2° b).
3° Représentation de Fresnel
En électricité, on utilise fréquemment des fonctions sinusoïdales du type : t → A 2 sin (ω t + ϕ )
où A est la valeur efficace, ω la pulsation et ϕ la phase à l'origine (A et ω sont des réels strictement positifs, ϕ
est un réel quelconque).
Soit f1 et f2 deux fonctions sinusoïdales de même pulsation ω

f1 t → A1 2 sin (ω t + ϕ1 )
f2 t → A2 2 sin (ω t + ϕ2 )
On considère les complexes ; u1 = A1 ei(ω t + ϕ1) et u2 = A2 ei(ω t + ϕ2)
a) Montrer qu'il existe des réels A et ϕ (A > 0) tels que : u1 + u2 = A ei(ω t + ϕ).
En déduire que la somme de deux fonctions sinusoïdales de même pulsation ω est une fonction sinusoïdales de
pulsation ω.
→
b) Un repère orthonormal du plan (O ; u→, v)
étant choisi, la représentation de Fresnel de la fonction sinusôidale
→
f : t → A 2 sin (ω t + ϕ ) est le vecteur OM d'affixe z = A ei ϕ .
π
Soit f1 et f2 deux fonctions sinusoïdales de même pulsation, l'une a pour valeur efficace 2 et phase à l'origine ,
4
π
l'autre a pour valeur efficace 3 et phase à l'origine –
.
12
• Représenter les vecteurs de Fresnel de ces deux fonctions et leur vecteur somme.
• Calculer la phase à l'origine et la valeur efficace de la somme de ces deux fonctions.
π
2 π


c) Reprendre la question 3° b) pour f1 (t) = 3 2 sin ω t +  et f2 (t) = 8 cos ω t –
.
6
3 




