dm14 - Mathématiques PC2

Mathématiques - PC2 - Lycée Michel Montaigne
DM N◦ 14 - A remettre le Mardi 19 février 2013
Intégrales à paramètres - Coniques - Extrait de E3A PSI 2008 et E3A PC 2010
Les deux exercices qui suivent sont totalement indépendants.
Exercice I : Etude d’une fonction définie par une intégrale à paramètres
Le but de cet exercice est d’étudier la fonction F définie par F (x) =
1. Déterminer l’ensemble de définition D de F .
Z
+∞
e−xch(t) dt.
0
2. Démontrer que F est de classe C 2 sur D.
00
1 0
3. Démontrer que F est solution sur D de l’équation différentielle y + y − y = 0.
x
Z 1 −v
Z +∞
1
1
e
−
e−xu √
du et K(x) =
dv.
4. On pose, pour x ∈]0, 1[ : H(x) =
2−1
u
v
u
x
1
(a) Démontrer que H est définie et bornée sur ]0, 1[.
(b) Démontrer que : ∀x ∈]0, 1[ , ∀v ∈ [x, 1] , 0 ≤ 1 − e−v ≤ v. En déduire que K(x) ∼ + − ln(x).
x→0
Z +∞
−xu
e
√
du.
(c) Etablir que F (x) =
u2 − 1
1
(d) Déterminer un équivalent de F (x) quand x tend vers 0+ .
5. Calculer lim xF (x) (On pourra utiliser la caractérisation séquentielle de la limite).
x→+∞
Exercice II : Une famille de coniques
Le plan est rapporté à un repère orthonormal R =
−
→ −
→
O, i , j et les coordonnées d’un point du plan dans R sont
notées (x, y). Pour tout réel m, on considère la conique d’équation dans R :
4x2 + 9y 2 + 2(m − 6)xy − 24x − 36y + 36 = 0
(Cm )
1. Démontrer que C6 est une ellipse dont on donnera le centre, les sommets, les tangentes aux sommets et les axes.
Tracer la courbe C6 dans le repère R.
2. (a) Démontrer que toutes les coniques Cm passent par deux points A et B que l’on déterminera, et que ces deux
points sont leurs seuls points communs.
(b) Déterminer l’équation de la tangente à Cm en A, ainsi qu’en B. Etudier le cas particulier m = 12.
3. (a) Déterminer une condition nécessaire et suffisante portant sur m pour que la conique C m soit du type ellipse.
Cette ellipse peut-elle être dégénérée ? Peut-elle être un cercle ?
(b) Déterminer une condition nécessaire et suffisante portant sur m pour que la conique C m soit du type
hyperbole.
(c) Quelles sont les valeurs de m pour lesquelles la conique Cm est une parabole, éventuellement dégénérée ?
(
x(t) = 3t2
, t ∈ R.
4. Soit P la courbe paramétrée définie par :
y(t) = 2(1 − t)2
(a) Démontrer que P est l’une des courbes Cm .
(b) Déterminer une équation de l’axe de P.
(c) Déterminer les coordonnées du sommet S de P.
(d) Tracer P.